En física teórica , la composición de dos impulsos de Lorentz no colineales da como resultado una transformación de Lorentz que no es un impulso puro, sino la composición de un impulso y una rotación. Esta rotación se llama rotación de Thomas , rotación de Thomas-Wigner o rotación de Wigner . La rotación fue descubierta por Llewellyn Thomas en 1926, [1] y derivada por Wigner en 1939. [2] Si una secuencia de impulsos no colineales devuelve un objeto a su velocidad inicial, entonces la secuencia de rotaciones de Wigner puede combinarse para producir un rotación neta llamada precesión de Thomas . [3]
Todavía hay discusiones en curso sobre la forma correcta de ecuaciones para la rotación de Thomas en diferentes sistemas de referencia con resultados contradictorios. [4] Goldstein : [5]
- La rotación espacial resultante de la aplicación sucesiva de dos transformaciones de Lorentz no colineales ha sido declarada tan paradójica como las aparentes violaciones del sentido común discutidas con más frecuencia, como la paradoja de los gemelos .
El principio de reciprocidad de velocidad de Einstein (EPVR) dice [6]
- Postulamos que la relación entre las coordenadas de los dos sistemas es lineal. Entonces la transformación inversa también es lineal y la total no preferencia de uno u otro sistema exige que la transformación sea idéntica a la original, excepto por un cambio de v a −v
Con una interpretación menos cuidadosa, el EPVR aparentemente se viola en algunos modelos. [7] Por supuesto, no existe una verdadera paradoja.
Configuración de cuadros y velocidades relativas entre ellos
Dos impulsos generales
Al estudiar la rotación de Thomas en el nivel fundamental, normalmente se utiliza una configuración con tres marcos de coordenadas, Σ, Σ ′ Σ ′ ′ . La trama Σ ′ tiene una velocidad u relativa a la trama Σ , y la trama Σ ′ ′ tiene una velocidad v relativa a la trama Σ ′ .
Los ejes están, por construcción, orientados de la siguiente manera. Vistos desde Σ ′ , los ejes de Σ ′ y Σ son paralelos (lo mismo es válido para el par de marcos cuando se ven desde Σ ). También vistos desde Σ ′ , los ejes espaciales de Σ ′ y Σ ′ ′ son paralelos (y lo mismo es válido para el par de fotogramas cuando se ve desde Σ ′ ′ .) [8] Esta es una aplicación de EVPR: si u es la velocidad de Σ ′ relativa a Σ , entonces u ′ = - u es la velocidad de Σ relativo a Σ ′ . El vector de velocidad 3 u forma los mismos ángulos con respecto a los ejes coordenados tanto en los sistemas primados como no primarios. Esto no representa una instantánea tomada en ninguno de los dos fotogramas del sistema combinado en ningún momento en particular, como debe quedar claro a partir de la descripción detallada a continuación.
Esto es posible, ya que un aumento en, digamos, la dirección z positiva , preserva la ortogonalidad de los ejes de coordenadas. Un impulso general B ( w ) se puede expresar como L = R −1 ( e z , w ) B z ( w ) R ( e z , w ) , donde R ( e z , w ) es una rotación que toma z - eje en la dirección de w y B z es un impulso en la nueva dirección z . [9] [10] [11] Cada rotación conserva la propiedad de que los ejes de coordenadas espaciales son ortogonales. El impulso tendrá una extensión de la (intermedio) z eje x por un factor γ , dejando el intermedio x eje x y y eje x en su lugar. [12] El hecho de que los ejes de coordenadas no sean paralelos en esta construcción después de dos impulsos consecutivos no colineales es una expresión precisa del fenómeno de rotación de Thomas. [nb 1]
La velocidad de Σ ′ ′ como se ve en Σ se denota w d = u ⊕ v , donde ⊕ se refiere a la suma relativista de la velocidad (y no a la suma vectorial ordinaria ), dada por [13]
( VA 2 )
y
es el factor de Lorentz de la velocidad u (las barras verticales | u | indican la magnitud del vector ). La velocidad u se puede pensar en la velocidad de un marco Σ ′ en relación con un marco Σ , y v es la velocidad de un objeto, digamos una partícula u otro marco Σ ′ ′ en relación con Σ ′ . En el contexto actual, es mejor pensar en todas las velocidades como velocidades relativas de fotogramas a menos que se especifique lo contrario. El resultado w = u ⊕ v es entonces la velocidad relativa de la trama Σ ′ ′ relativa a una trama Σ .
Aunque la suma de velocidades es no lineal , no asociativa y no conmutativa , el resultado de la operación obtiene correctamente una velocidad con una magnitud menor que c . Si se usara la suma de vectores ordinarios, sería posible obtener una velocidad con una magnitud mayor que c . El factor de Lorentz γ de ambas velocidades compuestas son iguales,
y las normas son iguales bajo el intercambio de vectores de velocidad
Dado que las dos posibles velocidades compuestas tienen la misma magnitud, pero direcciones diferentes, una debe ser una copia rotada de la otra. En el artículo principal se pueden encontrar más detalles y otras propiedades que no son de interés directo aquí.
Configuración invertida
Considere la configuración inversa, es decir, el cuadro Σ se mueve con velocidad - u en relación con el cuadro Σ ′ , y el cuadro Σ ′ , a su vez, se mueve con velocidad - v en relación con el cuadro Σ ′ ′ . En resumen, u → - u y v → - v por EPVR. Entonces la velocidad de Σ relativa a Σ ′ ′ es (- v ) ⊕ (- u ) ≡ - v ⊕ u . Por EPVR nuevamente, la velocidad de Σ ′ ′ relativa a Σ es entonces w i = v ⊕ u . (A)
Uno encuentra w d ≠ w i . Si bien son iguales en magnitud, existe un ángulo entre ellos. Para un solo impulso entre dos fotogramas inerciales, solo hay una velocidad relativa inequívoca (o su negativa). Para dos impulsos, el resultado peculiar de dos velocidades relativas desiguales en lugar de una parece contradecir la simetría del movimiento relativo entre dos fotogramas cualesquiera. ¿Cuál es la velocidad correcta de Σ ′ ′ relativa a Σ ? Dado que esta desigualdad puede ser algo inesperada y potencialmente romper la EPVR, esta pregunta está justificada. [nb 2]
Formulación en términos de transformaciones de Lorentz
Dos aumentos equivalen a un impulso y una rotación
La respuesta a la pregunta radica en la rotación de Thomas, y se debe tener cuidado al especificar qué sistema de coordenadas está involucrado en cada paso. Cuando se ve desde Σ , los ejes de coordenadas de Σ y Σ ′ ′ no son paralelos. Si bien esto puede ser difícil de imaginar ya que ambos pares (Σ, Σ ′) y (Σ ′, Σ ′ ′) tienen ejes de coordenadas paralelos, es fácil de explicar matemáticamente.
La adición de velocidad no proporciona una descripción completa de la relación entre los fotogramas. Se debe formular la descripción completa en términos de transformaciones de Lorentz correspondientes a las velocidades. Un impulso de Lorentz con cualquier velocidad v (magnitud menor que c ) viene dado simbólicamente por
donde las coordenadas y la matriz de transformación se expresan de forma compacta en forma de matriz de bloques
ya su vez, r , r ′, v son vectores columna (la transposición de la matriz de estos son vectores fila), y γ v es el factor de Lorentz de velocidad v . La matriz de refuerzo es una matriz simétrica . La transformación inversa está dada por
Está claro que a cada velocidad admisible v corresponde un impulso de Lorentz puro ,
La suma de velocidad u ⊕ v corresponde a la composición de los impulsos B ( v ) B ( u ) en ese orden. El B ( u ) actúa sobre X primero, entonces B ( v ) actúa sobre B ( u ) X . Observe que los operadores sucesivos actúan a la izquierda en cualquier composición de operadores, por lo que B ( v ) B ( u ) debe interpretarse como un impulso con velocidades u luego v , no v luego u . Realizando las transformaciones de Lorentz mediante multiplicación de matrices de bloques,
la matriz de transformación compuesta es [14]
y a la vez
Aquí γ es el factor de Lorentz compuesto, y un y b son 3 × 1 vectores columna proporcionales a las velocidades de compuestos. La matriz M de 3 × 3 resultará tener un significado geométrico.
Las transformaciones inversas son
y la composición equivale a una negación e intercambio de velocidades,
Si se intercambian las velocidades relativas, mirando los bloques de Λ , se observa que la transformación compuesta es la traspuesta de la matriz de Λ . Esto no es lo mismo que la matriz original, por lo que la matriz de transformación de Lorentz compuesta no es simétrica y, por lo tanto, no tiene un solo impulso. Esto, a su vez, se traduce en la incompletitud de la composición de la velocidad a partir del resultado de dos refuerzos, simbólicamente;
Para completar la descripción, es necesario introducir una rotación, antes o después del impulso. Esta rotación es la rotación de Thomas . Una rotación viene dada por
donde la matriz de rotación 4 × 4 es
y R es una matriz de rotación de 3 × 3 . [nb 3] En este artículo se utiliza la representación eje-ángulo , y θ = θ e es el "vector eje-ángulo", el ángulo θ multiplicado por un vector unitario e paralelo al eje. Además, se utiliza la convención de la mano derecha para las coordenadas espaciales (ver orientación (espacio vectorial) ), de modo que las rotaciones son positivas en sentido antihorario según la regla de la mano derecha , y negativas en sentido horario. Con estas convenciones; la matriz de rotación rota cualquier vector 3d alrededor del eje e a través del ángulo θ en sentido antihorario (una transformación activa ), que tiene el efecto equivalente de rotar el marco de coordenadas en el sentido de las agujas del reloj sobre el mismo eje a través del mismo ángulo (una transformación pasiva).
La matriz de rotación es una matriz ortogonal , su transposición es igual a su inversa, y negar el ángulo o el eje en la matriz de rotación corresponde a una rotación en el sentido opuesto, por lo que la transformación inversa se obtiene fácilmente mediante
Un impulso seguido o precedido por una rotación también es una transformación de Lorentz, ya que estas operaciones dejan invariante el intervalo de espacio-tiempo. La misma transformación de Lorentz tiene dos descomposiciones para vectores de rapidez y ángulo de eje elegidos apropiadamente;
y si estas dos descomposiciones son iguales, los dos aumentos están relacionados por
por lo que los aumentos están relacionados mediante una transformación de similitud de matriz .
Resulta que la igualdad entre dos impulsos y una rotación seguida o precedida por un solo impulso es correcta: la rotación de fotogramas coincide con la separación angular de las velocidades compuestas y explica cómo una velocidad compuesta se aplica a un fotograma, mientras que la otra se aplica a el marco girado. La rotación también rompe la simetría en la transformación de Lorentz general haciéndola no simétrica. Para esta rotación específica, deje que el ángulo sea ε y el eje esté definido por el vector unitario e , de modo que el vector eje-ángulo sea ε = ε e .
En total, dos ordenamientos diferentes de dos impulsos significa que hay dos transformaciones no equivalentes. Cada uno de estos se puede dividir en un impulso y luego una rotación, o una rotación y luego un impulso, duplicando el número de transformaciones no equivalentes a cuatro. Las transformaciones inversas son igualmente importantes; proporcionan información sobre lo que percibe el otro observador. En total, hay ocho transformaciones a considerar, solo para el problema de dos impulsos de Lorentz. En resumen, con las operaciones posteriores actuando a la izquierda, son
Dos impulsos ... | ... dividido en un impulso y luego rotación ... | ... o dividir en una rotación y luego impulsar. |
---|---|---|
| ||
Al hacer coincidir los aumentos seguidos de rotaciones, en la configuración original, un observador en Σ nota que Σ ′ ′ se mueve con la velocidad u ⊕ v luego gira en el sentido de las agujas del reloj (primer diagrama), y debido a la rotación un observador en Σ ′ ′ nota Σ a moverse con velocidad - v ⊕ u luego girar en sentido antihorario (segundo diagrama). Si las velocidades se intercambian, un observador en Σ nota que Σ ′ ′ se mueve con velocidad v ⊕ u, luego gira en sentido antihorario (tercer diagrama), y debido a la rotación, un observador en Σ ′ ′ nota Σ que se mueve con velocidad - u ⊕ v entonces gire en el sentido de las agujas del reloj (cuarto diagrama).
Los casos de rotaciones y luego refuerzos son similares (no se muestran diagramas). Al hacer coincidir las rotaciones seguidas de aumentos, en la configuración original, un observador en Σ nota que Σ ′ ′ gira en el sentido de las agujas del reloj y luego se mueve con la velocidad v ⊕ u , y debido a la rotación, un observador en Σ ′ ′ nota Σ que gira en sentido antihorario y luego se mueve con velocidad - u ⊕ v . Si se intercambian las velocidades, un observador en Σ nota que Σ ′ ′ gira en sentido antihorario, luego se mueve con la velocidad u ⊕ v , y debido a la rotación, un observador en Σ ′ ′ nota Σ que gira en el sentido de las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad - u ⊕ v .
Encontrar el eje y el ángulo de la rotación de Thomas
Las fórmulas anteriores constituyen la suma de velocidad relativista y la rotación de Thomas explícitamente en las transformaciones generales de Lorentz. En todas partes, en cada composición de impulsos y descomposición en impulso y rotación, la fórmula importante
se mantiene, permitiendo que la matriz de rotación se defina completamente en términos de las velocidades relativas u y v . El ángulo de una matriz de rotación en la representación eje-ángulo se puede encontrar a partir de la traza de la matriz de rotación , el resultado general para cualquier eje es tr ( R ) = 1 + 2 cos ε . Al tomar la traza de la ecuación se obtiene [15] [16] [17]
El ángulo ε entre una y b es no el mismo que el ángulo α entre u y v .
En ambos marcos Σ y Σ ′ ′, para cada composición y descomposición, otra fórmula importante
sostiene. Los vectores a y b son de hecho relacionadas por una rotación, de hecho por la matriz misma rotación R que hace girar el marcos de coordenadas. A partir de a , la matriz R gira esto en b en sentido antihorario, sigue su producto cruzado (en la convención de la derecha)
define el eje correctamente, por lo tanto, el eje también es paralelo a u × v . La magnitud de este pseudovector no es interesante ni importante, solo la dirección lo es, por lo que se puede normalizar en el vector unitario
que todavía define completamente la dirección del eje sin pérdida de información.
La rotación es simplemente una rotación "estática" y no hay un movimiento de rotación relativo entre los fotogramas, hay un movimiento de traslación relativo en el impulso. Sin embargo, si los fotogramas se aceleran, el fotograma girado gira con una velocidad angular. Este efecto se conoce como precesión de Thomas y surge puramente de la cinemática de los sucesivos impulsos de Lorentz.
Encontrar la rotación de Thomas
El proceso de descomposición descrito (a continuación) se puede realizar sobre el producto de dos transformaciones de Lorentz puras para obtener explícitamente la rotación de los ejes de coordenadas resultante de los dos "aumentos" sucesivos. En general, el álgebra involucrada es bastante intimidante, más que suficiente, por lo general, para desalentar cualquier demostración real de la matriz de rotación.
- Goldstein (1980 , pág.286)
En principio, es bastante sencillo. Dado que cada transformación de Lorentz es producto de un impulso y una rotación, la aplicación consecutiva de dos impulsos puros es un impulso puro, seguido o precedido por una rotación pura. Así supongamos
La tarea es extraer de esta ecuación la velocidad de impulso w y la rotación R de las entradas de la matriz de Λ . [18] Las coordenadas de los eventos están relacionadas por
Invertir esta relación produce
o
Establezca x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Entonces x ν registrará la posición espaciotemporal del origen del sistema cebado,
o
Pero
Multiplicar esta matriz con una rotación pura no afectará a las columnas y filas cero, y
que podría haberse anticipado a partir de la fórmula para un simple impulso en la dirección x , y para el vector de velocidad relativa
Por lo tanto da con Λ , se obtiene beta y w a poco más de la inspección de Λ -1 . (Por supuesto, w también se puede encontrar usando la suma de velocidades como se indica arriba.) A partir de w , construya B (- w ) . La solución para R es entonces
Con el ansatz
uno encuentra por el mismo medio
Encontrar una solución formal en términos de parámetros de velocidad u y v implica en primer lugar formalmente multiplicando B ( v ) B ( u ) , invirtiendo formalmente, a continuación, la lectura de β w forma el resultado, formalmente la construcción de B (- w ) a partir del resultado, y, finalmente, multiplicar formalmente B (- w ) B ( v ) B ( u ) . Debe quedar claro que esta es una tarea abrumadora, y es difícil interpretar / identificar el resultado como una rotación, aunque está claro a priori que lo es. Son estas dificultades a las que se refiere la cita de Goldstein en la parte superior. El problema se ha estudiado a fondo bajo supuestos simplificadores a lo largo de los años.
Origen teórico del grupo
Otra forma de explicar el origen de la rotación es mirando los generadores del grupo Lorentz .
Impulsos de velocidades
El paso de una velocidad a un impulso se obtiene de la siguiente manera. Un impulso arbitrario viene dado por [19]
donde ζ es un triple de los números reales que sirven como coordenadas en el subespacio de refuerzo del álgebra de Lie, por lo que (3, 1) se extiende por las matrices
El vector
se llama parámetro boost o vector boost , mientras que su norma es la rapidez . Aquí β es el parámetro de velocidad , la magnitud del vector β = u / c .
Mientras que para ζ uno tiene 0 ≤ ζ <∞ , el parámetro β está confinado dentro de 0 ≤ β <1 , y por lo tanto 0 ≤ u < c . Por lo tanto
El conjunto de velocidades que satisfacen 0 ≤ u < c es una bola abierta en ℝ 3 y se denomina espacio de velocidades admisibles en la literatura. Está dotado de una geometría hiperbólica descrita en el artículo vinculado. [20]
Conmutadores
Los generadores de impulso, K 1 , K 2 , K 3 , en diferentes direcciones no se desplazan. Esto tiene el efecto de que dos impulsos consecutivos no son un impulso puro en general, sino una rotación que precede a un impulso.
Considere una sucesión de impulsos en la dirección x, luego en la dirección y, expandiendo cada impulso al primer orden [21]
luego
y el conmutador de grupo es
Tres de las relaciones de conmutación de los generadores de Lorentz son
donde el corchete [ A , B ] = AB - BA es una operación binaria conocida como conmutador , y las otras relaciones se pueden encontrar tomando permutaciones cíclicas de componentes x, y, z (es decir, cambiar xay, yaz, yz a x, repetir).
Volviendo al conmutador de grupo, las relaciones de conmutación de los generadores impulsores implican un impulso a lo largo de las direcciones xy luego y, habrá una rotación sobre el eje z. En términos de rapidez, el ángulo de rotación θ viene dado por
equivalentemente expresable como
Diagramas de espacio-tiempo para impulsos no colineales
La noción familiar de suma de vectores para velocidades en el plano euclidiano se puede hacer en una formación triangular, o como la suma de vectores es conmutativa, los vectores en ambos ordenamientos forman geométricamente un paralelogramo (ver " ley del paralelogramo "). Esto no es válido para la suma de velocidades relativistas; en cambio , surge un triángulo hiperbólico cuyos bordes están relacionados con la rapidez de los impulsos. Al cambiar el orden de las velocidades de impulso, no se encuentra que las velocidades de impulso resultantes coincidan. [22]
Ver también
- Ecuación de Bargmann-Michel-Telegdi
- Pseudovector de Pauli – Lubanski
- Fórmula de adición de velocidad # Geometría hiperbólica
Notas al pie
- ^ Esta preservación de la ortogonalidad de los ejes de coordenadas no debe confundirse con la preservación de ángulos entre vectores espaciales tomados al mismo tiempo en un sistema, lo cual, por supuesto, no se cumple. Los ejes de coordenadas se transforman bajo latransformación pasiva presentada, mientras que los vectores se transforman bajo la correspondientetransformación activa .
- ^ Esto a veces se llama la "paradoja de Mocanu". El propio Mocanu no lo llamó una paradoja, sino más bien una "dificultad" dentro del marco de la electrodinámica relativista en un artículo de 1986. También se apresuró a reconocer que el problema se explica por la precesión de Thomas Mocanu (1992) , pero el nombre perdura.
- ^ En la literatura, la matriz de rotación 3D R puede denotarse con otras letras, otros usan un nombre y los vectores de velocidad relativa involucrados, por ejemplo, tom [ u , v ] para "rotación de Thomas" o gyr [ u , v ] para " giro "(ver espacio de girovector ). En consecuencia, la matriz de rotación 4d R (cursiva no negrita) en este artículo puede indicarse
Referencias
- ↑ Thomas, 1926
- ^ Wigner, 1939
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Otras lecturas
- Espacio de velocidad relativista, rotación de Wigner y precesión de Thomas (2004) John A. Rhodes y Mark D. Semon
- La teoría hiperbólica de la relatividad especial (2006) de JF Barrett