El factor de Lorentz o término de Lorentz es una cantidad que expresa cuánto cambian las medidas de tiempo, longitud y otras propiedades físicas de un objeto mientras ese objeto se está moviendo. La expresión aparece en varias ecuaciones en relatividad especial y surge en derivaciones de las transformaciones de Lorentz . El nombre se origina en su aparición anterior en la electrodinámica de Lorentz , que lleva el nombre del físico holandés Hendrik Lorentz . [1]
Generalmente se denota γ (la letra minúscula griega gamma ). A veces (especialmente en la discusión del movimiento superluminal ) el factor se escribe como Γ (gamma mayúscula griega) en lugar de γ .
Definición
El factor de Lorentz γ se define como [2]
- ,
dónde:
- v es la velocidad relativa entre marcos de referencia inerciales,
- c es la velocidad de la luz en el vacío ,
- β es la razón de v a c ,
- t es el tiempo de coordenadas ,
- τ es el tiempo adecuado para un observador (midiendo intervalos de tiempo en el propio marco del observador).
Esta es la forma que se utiliza con más frecuencia en la práctica, aunque no es la única (consulte las formas alternativas a continuación).
Para complementar la definición, algunos autores definen el recíproco [3]
Ocurrencia
A continuación se muestra una lista de fórmulas de la relatividad especial que utilizan γ como abreviatura: [2] [4]
- La transformación de Lorentz : el caso más simple es un impulso en la dirección x (formas más generales que incluyen direcciones arbitrarias y rotaciones que no se enumeran aquí), que describe cómo cambian las coordenadas del espacio-tiempo desde un marco inercial usando coordenadas ( x , y , z , t ) a otro ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) con velocidad relativa v :
Los corolarios de las transformaciones anteriores son los resultados:
- Dilatación del tiempo : El tiempo (∆ t ′ ) entre dos tics medido en el marco en el que se mueve el reloj, es más largo que el tiempo (∆ t ) entre estos tics medido en el resto del marco del reloj:
- Contracción de longitud : la longitud (∆ x ′ ) de un objeto, medida en el marco en el que se mueve, es más corta que su longitud (∆ x ) en su propio marco de descanso:
La aplicación de la conservación del impulso y la energía conduce a estos resultados:
- Masa relativista : La masa m de un objeto en movimiento depende dey la masa en reposo m 0 :
- Momento relativista : Larelación de momento relativistatoma la misma forma que para el momento clásico, pero usando la masa relativista anterior:
- Energía cinética relativista : Larelación de energía cinética relativistatoma la forma ligeramente modificada:
- Como es una función de , el límite no relativista da , como se esperaba de las consideraciones newtonianas.
Valores numéricos
En la siguiente tabla, la columna de la izquierda muestra las velocidades como diferentes fracciones de la velocidad de la luz (es decir, en unidades de c ). La columna del medio muestra el factor de Lorentz correspondiente, la final es el recíproco. Los valores en negrita son exactos.
Velocidad (unidades de c), | Factor de Lorentz, | Recíproco, |
---|---|---|
0.000 | 1.000 | 1.000 |
0,050 | 1.001 | 0,999 |
0,100 | 1.005 | 0,995 |
0,150 | 1.011 | 0,989 |
0,200 | 1.021 | 0,980 |
0,250 | 1.033 | 0,968 |
0.300 | 1.048 | 0,954 |
0.400 | 1.091 | 0,917 |
0.500 | 1,155 | 0,866 |
0,600 | 1.250 | 0,800 |
0,700 | 1.400 | 0,714 |
0,750 | 1.512 | 0,661 |
0,800 | 1.667 | 0,600 |
0,866 | 2.000 | 0.500 |
0.900 | 2.294 | 0.436 |
0,990 | 7.089 | 0,141 |
0,999 | 22.366 | 0,045 |
0,99995 | 100,00 | 0,010 |
Representaciones alternativas
Hay otras formas de escribir el factor. Anteriormente, se utilizó la velocidad v , pero las variables relacionadas, como el impulso y la rapidez , también pueden ser convenientes.
Impulso
Resolver la ecuación de momento relativista anterior para γ conduce a
- .
Esta forma se utiliza raramente, aunque aparece en la distribución de Maxwell-Jüttner . [5]
Rapidez
Aplicando la definición de rapidez como ángulo hiperbólico : [6]
también conduce a γ (mediante el uso de identidades hiperbólicas ):
Usando la propiedad de la transformación de Lorentz , se puede demostrar que la rapidez es aditiva, una propiedad útil que la velocidad no tiene. Por lo tanto, el parámetro de rapidez forma un grupo de un parámetro , una base para los modelos físicos.
Expansión en serie (velocidad)
El factor Lorentz tiene la serie Maclaurin :
que es un caso especial de una serie binomial .
La aproximación γ ≈ 1 +1/2 β 2 puede usarse para calcular efectos relativistas a bajas velocidades. Se mantiene dentro del 1% de error para v <0.4 c ( v <120,000 km / s), y dentro del 0.1% de error para v <0.22 c ( v <66,000 km / s).
Las versiones truncadas de esta serie también permiten a los físicos demostrar que la relatividad especial se reduce a la mecánica newtoniana a bajas velocidades. Por ejemplo, en relatividad especial, se cumplen las siguientes dos ecuaciones:
Para γ ≈ 1 y γ ≈ 1 + 1/2 β 2 , respectivamente, estos se reducen a sus equivalentes newtonianos:
La ecuación del factor de Lorentz también se puede invertir para producir
Esto tiene una forma asintótica
- .
Los dos primeros términos se utilizan ocasionalmente para calcular rápidamente velocidades a partir de valores grandes de γ . La aproximación β ≈ 1 - 1/2 γ −2 se mantiene dentro del 1% de tolerancia para γ > 2, y dentro del 0,1% de tolerancia para γ > 3,5.
Aplicaciones en astronomía
El modelo estándar de ráfagas de rayos gamma de larga duración (GRB) sostiene que estas explosiones son ultrarrelativistas (inicial mayor de aproximadamente 100), que se invoca para explicar el llamado problema de "compacidad": en ausencia de esta expansión ultrarrelativista, la eyección sería ópticamente espesa para emparejar la producción a las energías espectrales máximas típicas de unos pocos 100 keV, mientras que el indicador se observa que la emisión no es térmica. [7]
Las partículas subatómicas llamadas muones , tienen un factor de Lorentz relativamente alto y, por lo tanto, experimentan una dilatación temporal extrema . Como ejemplo, los muones generalmente tienen una vida media de aproximadamente2,2 μs, lo que significa que los muones generados a partir de colisiones de rayos cósmicos a unos 10 km de altura en la atmósfera no deberían ser detectables en el suelo debido a su tasa de desintegración. Sin embargo, se ha descubierto que ~ 10% de los muones todavía se detectan en la superficie, lo que demuestra que, para ser detectables, sus tasas de desintegración se han ralentizado en relación con nuestro marco de referencia inercial. [8]
Ver también
- Marco de referencia inercial
- Pseudorapidez
- Velocidad adecuada
Referencias
- ^ Un universo , por Neil deGrasse Tyson , Charles Tsun-Chu Liu y Robert Irion.
- ^ a b Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dinámica y relatividad . John Wiley e hijos . ISBN 978-1-118-93329-9.
- ^ Yaakov Friedman, Aplicaciones físicas de bolas homogéneas , Progreso en física matemática 40 Birkhäuser, Boston, 2004, páginas 1-21.
- ^ Joven; Freedman (2008). Física de la Universidad de Sears y Zemansky (12ª ed.). Pearson Ed. Y Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
- ^ Synge, JL (1957). El gas relativista. Serie en física. Holanda Septentrional. LCCN 57-003567
- ^ Cinemática Archivado el 21 de noviembre de 2014 en la Wayback Machine , por JD Jackson . Consulte la página 7 para ver la definición de rapidez.
- ^ Cenko, SB et al., IPTF14yb: El primer descubrimiento de un resplandor crepuscular de rayos gamma independiente de un disparador de alta energía , Astrophysical Journal Letters 803 , 2015, L24 (6 págs.).
- ^ "Experimento de muones en relatividad" . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Consultado el 24 de febrero de 2017 .
enlaces externos
- Merrifield, Michael. "γ - Factor de Lorentz (y dilatación del tiempo)" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
- Merrifield, Michael. "γ2 - Gamma Reloaded" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .