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Al 5 de marzo de 2012, esta página es un ensayo que presenta al usuario: Las reflexiones de Incnis Mrsi sobre la percepción de malestar de los artículos sobre lógica matemática en Wikipedia en inglés.
Introducción
En la mayoría de las situaciones, es aceptable usar implícitamente equivalencia o definiciones diferentes, si tal equivalencia se convierte en un conocimiento común. A veces, incluso existen artículos de Wikipedia que explican por qué diferentes definiciones son equivalentes. Pero un artículo sobre cualquier concepto fundamental de las matemáticas requiere un enfoque diferente al de la mayoría de los otros temas matemáticos. Allí, deberíamos especificar dónde son equivalentes algunas cosas, por qué lo son y, a veces, cómo son equivalentes.
Otro problema que existe: donde hay varios enfoques en competencia para la base de las matemáticas. Si alguien dijera algo como "La exploración espacial no es solo el programa espacial estadounidense ", nadie lo refutaría, ni siquiera los estadounidenses. Pero, lamentablemente, hoy en en.Wikipedia cosas como que "El condicional material no pueden ser sólo los puntos de vista de la lógica clásica sobre el condicional material" tienen que ser explicadas, con mucha paciencia, luego probadas y defendidas.
Teorías formales
Un artículo sobre teoría formal (por ejemplo, teoría (lógica matemática) ) debe explicar tanto su estructura como sistema formal como su semántica pretendida . Pero debe evitarse redacción como "esta teoría prueba que ... es una verdad matemática". El hecho de que alguna proposición formal sea un teorema de una teoría formal también puede expresarse como: "si <…> se usara como base de las matemáticas, entonces se probarían resultados como (…)". Tenga en cuenta que una correspondencia entre los "hechos matemáticos" y su representación en un lenguaje formal puede plantear un problema en sí mismo, consulte # Nociones transteóricas a continuación.
Proposiciones, reglas y metateoremas
Un elemento de una teoría formal (o varias, ver más abajo) que tiene un artículo de Wikipedia dedicado debe tener un estatus explícitamente calificado con respecto a la teoría. Puede presentarse como:
- Un axioma o un teorema de conocimiento común , por ejemplo, cualquier tautología (lógica) es un teorema del cálculo proposicional clásico. Consulte #Demostraciones de axiomas sobre diferentes conjuntos de axiomas en teorías equivalentes.
- Una regla básica de inferencia . Una regla que se postula y no necesita ser probada.
- Una regla de inferencia derivada de reglas básicas y, posiblemente, axiomas.
Este último caso representa en realidad un metateorema , un hecho sobre el sistema formal que puede ser probado por medios externos, pero que no pertenece al sistema en sí. Los metateoremas no pueden confundirse con teoremas formalmente probados.
Es poco probable que el mismo artículo de Wikipedia pueda calificarse como axioma / teorema de algún cálculo lógico y como regla de inferencia (o metateorema). Al 5 de marzo, hay varios casos de este tipo en la Categoría: Reglas de inferencia .
Nociones transteóricas
Hay muchas nociones matemáticas que inicialmente se usaron o pueden usarse sin definiciones formales, pero que luego se incorporaron a las teorías formales. Muchas de estas nociones se incorporaron en teorías en competencia, esencialmente diferentes. Me referiré a nociones como " trans- teórico". Ejemplos destacados de esto son " función " (con cierta controversia acerca de las definiciones, por ejemplo, la definición de la lógica de predicados a través de relaciones y ∃! Es inaceptable para las matemáticas constructivas ) y " producto cartesiano " (con un significado más general en la teoría de categorías que en la teoría de conjuntos) .
Los artículos sobre nociones transteóricas no deben centrarse en la definición y el uso en una teoría en particular, sino que deben dar una imagen amplia.
Conectivos lógicos
Todos los conectivos lógicos , tal vez excepto la flecha de Pierce y su doble trazo de Sheffer , son esencialmente transteóricos. Entonces, estos artículos no pueden ni deben presentar unilateralmente el tema desde la perspectiva de la lógica clásica .
En los artículos sobre lógica matemática , una fórmula proposicional en sí misma debe distinguirse de sus constructos derivados, como la función de verdad o, más generalmente, el valor de verdad algebraico . Una fórmula escrita en el lenguaje proposicional común (conectivos lógicos y variables proposicionales) no especifica ningún sistema lógico particular para su interpretación, por lo tanto, declaraciones como " p → q es lógicamente equivalente a ¬ p ∨ q " no deben usarse en artículos lógicos. a menos que un sistema lógico concreto, o algún conjunto de sistemas lógicos donde se mantenga dicha equivalencia, esté determinado de manera inequívoca por el contexto.
Vinculación y reglas de inferencia
" Implicación " y " regla de inferencia " son, sin duda, nociones transteóricas. Algunas reglas concretas de inferencia, como el modus ponens , también son transteóricas. Si uno intenta "probar" tal regla, entonces debe especificarse para qué teoría formal o metateoría son válidos estos razonamientos.
Teoremas
Idealmente, el artículo sobre un teorema debería especificar qué teorías lo prueban o qué teoremas se pueden usar para hacerlo. En algunos casos es útil mencionar qué teorías no prueban algún resultado importante. Por ejemplo, el teorema de Hahn-Banach no puede demostrarse en el caso más general sin el axioma de elección o postulados equivalentes.
Pruebas
Como se mencionó anteriormente, para un "teorema" dado hay muchas teorías que prueban que puede existir. A veces, estas teorías están ordenadas por "rigor": todos los teoremas de una teoría más débil (pero "más estricta") pertenecen a alguna otra teoría más fuerte (pero menos estricta). En este caso, Wikipedia debería intentar presentar las pruebas de una teoría más estricta (si es que existe alguna) que existen en las fuentes fiables. Esto está motivado por WP: NPOV , una política fundamental de Wikipedia. Una prueba de una teoría más estricta será válida en todas las teorías más fuertes (por ejemplo, obtenida mediante la adición de axiomas o reglas de inferencia adicionales).
Una prueba como la Prueba del silogismo hipotético # (a partir del 5 de marzo) es poco probable que sea útil, pero es fundamentalmente defectuosa en el uso de la negación y las equivalencias válidas solo en la lógica clásica. Este problema puede surgir no solo en la lógica matemática, sino en varias otras ramas de las matemáticas, como el álgebra. Considere una identidad y una prueba derivada de :
Esta prueba es válida para números reales, complejos y racionales, pero no es válida para cualquier campo de la característica 2 (no existe tal número como ½) y es inaplicable a anillos unitales (porque no hay división en absoluto), aunque el la identidad aún se mantiene. La prueba "universalmente correcta" debería ser:
Por otro lado, algunos hechos pueden explicarse utilizando paradigmas simplificados o sesgados, en lugar de presentar una prueba verdadera. Por ejemplo, la veracidad de una fórmula proposicional puede explicarse utilizando tablas de verdad y algunas ideas de lógica de primer orden , utilizando nociones de la teoría de conjuntos .
Pruebas de axiomas
Contrariamente a la percepción habitual, las pruebas de axiomas y los gráficos desordenados de las pruebas no son herejías ni fallas lógicas como el circulus vitiosus . Si el artículo sobre el "axioma" C ′ dice A, B, C ⊢ C ′ y el de C dice A, B, C ′ ⊢ C , esto significa la equivalencia de {A, B, C} y {A, B , C'}. Pero es absolutamente necesario mencionar explícitamente de qué proposiciones se deriva una proposición dada.
Terminología enredada
Hay varios temas en los que la terminología establecida a veces se superpone y difiere de una fuente a otra. Por ejemplo, falso (lógica) es a veces una constante proposicional y un valor de verdad, pero en otras fuentes el término "falso" se reserva solo para el valor de verdad "0", y la constante proposicional correspondiente (conectivo nular) se conoce como el " contradicción ".
Tales casos pueden resolverse mediante notas de sombrero e indicación de tradiciones y fuentes particulares.
