Teorema de wold

teorema de procesos estacionarios; que tales series de tiempo son sumas de deterministas y estocásticas

En estadística , la descomposición de Wold o el teorema de representación de Wold (que no debe confundirse con el teorema de Wold que es el análogo en tiempo discreto del teorema de Wiener-Khinchin ), llamado así por Herman Wold , dice que toda serie de tiempo estacionaria de covarianza ${\displaystyle Y_{t}}$se puede escribir como la suma de dos series de tiempo, una determinista y otra estocástica .

Formalmente

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t},}$

donde:

• ${\displaystyle Y_{t}}$es la serie de tiempo que se está considerando,

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$es una secuencia no correlacionada que es el proceso de innovación al proceso${\displaystyle Y_{t}}$- es decir, un proceso de ruido blanco que se introduce en el filtro lineal ${\displaystyle \{b_{j}\}}$.

• ${\displaystyle b}$es el vector posiblemente infinito de pesos medios móviles (coeficientes o parámetros)

• ${\displaystyle \eta _{t}}$ es una serie de tiempo determinista, como la representada por una onda sinusoidal.

Los coeficientes de media móvil tienen estas propiedades:

1. Estable, que es sumable al cuadrado ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$ < ${\displaystyle \infty }$
2. Causal (es decir, no hay términos con j <0)
3. Demora mínima ^{[ aclaración necesaria ]}
4. Constante (${\displaystyle b_{j}}$independiente de t )
5. Es convencional definir ${\displaystyle b_{0}=1}$

Este teorema puede considerarse como un teorema de existencia: cualquier proceso estacionario tiene esta representación aparentemente especial. No solo es notable la existencia de una representación lineal y exacta tan simple, sino que lo es aún más la naturaleza especial del modelo de media móvil. Imagine la creación de un proceso que sea una media móvil pero que no satisfaga estas propiedades 1–4. Por ejemplo, los coeficientes${\displaystyle b_{j}}$podría definir un modelo de demora causal y no mínima ^{[ aclaración necesaria ]} . Sin embargo, el teorema asegura la existencia de un promedio móvil de retardo mínimo causal ^{[ aclaración necesaria ]} que representa exactamente este proceso. Cómo funciona todo esto para el caso de la causalidad y la propiedad de retardo mínimo se discute en Scargle (1981), donde se discute una extensión de la descomposición de Wold.

La utilidad del Teorema de Wold es que permite la evolución dinámica de una variable${\displaystyle Y_{t}}$para ser aproximado por un modelo lineal . Si las innovaciones${\displaystyle \varepsilon _{t}}$son independientes , entonces el modelo lineal es la única representación posible que relaciona el valor observado de${\displaystyle Y_{t}}$a su evolución pasada. Sin embargo cuando${\displaystyle \varepsilon _{t}}$es simplemente una secuencia no correlacionada pero no independiente, entonces el modelo lineal existe pero no es la única representación de la dependencia dinámica de la serie. En este último caso, es posible que el modelo lineal no sea muy útil, y existiría un modelo no lineal que relacione el valor observado de${\displaystyle Y_{t}}$a su evolución pasada. Sin embargo, en el análisis práctico de series de tiempo , a menudo ocurre que solo se consideran predictores lineales, en parte por motivos de simplicidad, en cuyo caso la descomposición de Wold es directamente relevante.

La representación de Wold depende de un número infinito de parámetros, aunque en la práctica suelen decaer rápidamente. El modelo autorregresivo es una alternativa que puede tener solo unos pocos coeficientes si la media móvil correspondiente tiene muchos. Estos dos modelos se pueden combinar en un modelo de promedio móvil autorregresivo (ARMA) o un modelo de promedio móvil integrado autorregresivo (ARIMA) si se trata de no estacionariedad. Ver Scargle (1981)y referencias allí; Además, este artículo ofrece una extensión del Teorema de Wold que permite una mayor generalización de la media móvil (no necesariamente estable, causal o retraso mínimo) acompañada de una caracterización más nítida de la innovación (distribuida de forma idéntica e independiente, no solo no correlacionada). Esta extensión permite la posibilidad de modelos más fieles a los procesos físicos o astrofísicos, y en particular pueden sentir ″ la flecha del tiempo ″.

Referencias

• Anderson, TW (1971). El análisis estadístico de series de tiempo . Wiley.
• Nerlove, M .; Grether, David M .; Carvalho, José L. (1995). Análisis de series de tiempo económicas (edición revisada). San Diego: Prensa académica. págs.  30–36 . ISBN 0-12-515751-7.
• Scargle, JD (1981). Estudios en análisis de series de tiempo astronómicas. I - Modelado de procesos aleatorios en el dominio del tiempo . Serie de suplementos de revistas astrofísicas. 45 . págs. 1-71.
• Wold, H. (1954) Un estudio en el análisis de series de tiempo estacionarias , segunda edición revisada, con un apéndice sobre "Desarrollos recientes en el análisis de series de tiempo" por Peter Whittle . Almqvist y Wiksell Book Co., Uppsala.