En teoría y estadística de probabilidad , dos variables aleatorias de valor real ,, , se dice que no están correlacionados si su covarianza ,, es cero. Si dos variables no están correlacionadas, no existe una relación lineal entre ellas.
Las variables aleatorias no correlacionadas tienen un coeficiente de correlación de Pearson de cero, excepto en el caso trivial cuando cualquiera de las variables tiene varianza cero (es una constante). En este caso, la correlación no está definida.
En general, la falta de correlación no es lo mismo que la ortogonalidad , excepto en el caso especial donde al menos una de las dos variables aleatorias tiene un valor esperado de 0. En este caso, la covarianza es la expectativa del producto, y y no están correlacionados si y solo si .
Si y son independientes , con segundos momentos finitos , entonces no están correlacionados. Sin embargo, no todas las variables no correlacionadas son independientes. [1] : pág. 155
Definición de dos variables aleatorias reales
Dos variables aleatorias se denominan no correlacionados si su covarianza es cero. [1] : pág. 153 [2] : pág. 121 Formalmente:
Definición de dos variables aleatorias complejas
Dos variables aleatorias complejas se denominan no correlacionados si su covarianza y su pseudocovarianza es cero, es decir
Definición de más de dos variables aleatorias
Un conjunto de dos o más variables aleatorias. se llama no correlacionado si cada par de ellos no está correlacionado. Esto es equivalente al requisito de que los elementos no diagonales de la matriz de autocovarianza del vector aleatorio son todos cero. La matriz de autocovarianza se define como:
Ejemplo 1
- Dejar ser una variable aleatoria que toma el valor 0 con probabilidad 1/2 y toma el valor 1 con probabilidad 1/2.
- Dejar ser una variable aleatoria, independiente de, que toma el valor -1 con probabilidad 1/2 y toma el valor 1 con probabilidad 1/2.
- Dejar ser una variable aleatoria construida como .
El reclamo es que y tienen covarianza cero (y por lo tanto no están correlacionados), pero no son independientes.
Prueba:
Teniendo en cuenta que
donde la segunda igualdad se mantiene porque y son independientes, uno consigue
Por lo tanto, y no están correlacionados.
Independencia de y significa que para todos y , . Esto no es cierto, en particular, para y .
Por lo tanto entonces y no son independientes.
QED
Ejemplo 2
Si es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en y , luego y no están correlacionados aunque determina y un valor particular de puede ser producido por sólo uno o dos valores de :
por otra parte, es 0 en el triángulo definido por aunque no es nulo en este dominio. Por lo tanto y las variables no son independientes.
Por tanto, las variables no están correlacionadas.
Hay casos en los que la falta de correlación implica independencia. Uno de estos casos es aquel en el que ambas variables aleatorias tienen dos valores (por lo que cada una puede transformarse linealmente para tener una distribución de Bernoulli ). [3] Además, dos variables aleatorias conjuntamente distribuidas normalmente son independientes si no están correlacionadas, [4] , aunque esto no se cumple para variables cuyos marginal distribuciones son normales y no correlacionado pero cuya distribución conjunta no es normal de las articulaciones (ver distribuidas normalmente y hace no correlacionado no implica independiente ).
Vectores aleatorios no correlacionados
Dos vectores aleatorios y se llaman no correlacionados si
- .
No están correlacionados si y solo si su matriz de covarianza cruzada es cero. [5] : p . 337
Dos vectores aleatorios complejos y se denominan no correlacionados si su matriz de covarianza cruzada y su matriz de covarianza cruzada es cero, es decir, si
dónde
y
- .
Procesos estocásticos no correlacionados
Dos procesos estocásticos y se denominan no correlacionados si su covarianza cruzadaes cero para todos los tiempos. [2] : pág. 142 Formalmente: