Distribución envuelta

En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución de probabilidad envuelta es una distribución de probabilidad continua que describe puntos de datos que se encuentran en una unidad n- esfera . En una dimensión, una distribución envuelta constará de puntos en el círculo unitario . Si φ es una variable aleatoria en el intervalo (-∞, ∞) con la función de densidad de probabilidad p (φ) , entonces z = e ^{i φ} será una variable circular distribuida de acuerdo con la distribución envuelta p _zw (z) y θ = arg (z)será una variable angular en el intervalo (-π, π] distribuida según la distribución envuelta p _w (θ) .

Cualquier función de densidad de probabilidad (pdf) en la línea se puede "envolver" alrededor de la circunferencia de un círculo de unidad de radio. ^[1] Es decir, el pdf de la variable envuelta${\displaystyle p(\phi )}$

${\displaystyle \theta =\phi \mod 2\pi }$ en algún intervalo de duración ${\displaystyle 2\pi }$

es

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$

que es una suma periódica de período . El intervalo preferido es generalmente para el que${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle (-\pi <\theta \leq \pi )}$${\displaystyle \ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta }$

Teoría

En la mayoría de las situaciones, un proceso que involucra estadísticas circulares produce ángulos ( ) que se encuentran en el intervalo desde el infinito negativo al infinito positivo, y se describen mediante una función de densidad de probabilidad "desenvuelta" . Sin embargo, una medición producirá un ángulo "medido" que se encuentra en algún intervalo de longitud (por ejemplo ). En otras palabras, una medición no puede decir si se ha medido el ángulo "verdadero" o si se ha medido un ángulo "envuelto" donde a es un número entero desconocido. Eso es:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle p(\phi )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi +2\pi a}$

${\displaystyle \theta =\phi +2\pi a.}$

Si deseamos calcular el valor esperado de alguna función del ángulo medido será:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi .}$

Podemos expresar la integral como una suma de integrales durante períodos de (por ejemplo, 0 a ):${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi .}$

Cambiando la variable de integración e intercambiando el orden de integración y suma, tenemos${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

donde es el pdf de la distribución "envuelta" y a ' es otro entero desconocido (a' = a + k). Puede verse que el entero desconocido a ' introduce una ambigüedad en el valor esperado de . Un ejemplo particular de este problema se encuentra cuando se intenta tomar la media de un conjunto de ángulos medidos . Si, en lugar de los ángulos medidos, introducimos el parámetro se ve que z tiene una relación inequívoca con el ángulo "verdadero" ya que:${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle z=e^{i\theta }}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }.}$

El cálculo del valor esperado de una función de z producirá respuestas inequívocas:

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '}$

y es por esta razón que el parámetro z es la variable estadística preferida para usar en el análisis estadístico circular en lugar de los ángulos medidos . Esto sugiere, y se muestra a continuación, que la función de distribución envuelta puede expresarse en sí misma como una función de z de modo que:${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz}$

donde se define de tal manera que . Este concepto se puede extender al contexto multivariado mediante una extensión de la suma simple a una serie de sumas que cubren todas las dimensiones en el espacio de características:${\displaystyle p_{w}(z)}$${\displaystyle p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

donde está el vector de base euclidiana.${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle k}$

Expresión en términos de funciones características

Una distribución envuelta fundamental es el peine de Dirac, que es una función delta de Dirac envuelta :

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}.}$

Usando la función delta, se puede escribir una distribución envuelta general

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '.}$

Intercambiando el orden de suma e integración, cualquier distribución envuelta se puede escribir como la convolución de la distribución "desenvuelta" y un peine de Dirac:

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '.}$

El peine de Dirac también se puede expresar como una suma de exponenciales, por lo que podemos escribir:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$

intercambiando nuevamente el orden de suma e integración,

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$

utilizando la definición de , la función característica de , produce una serie de Laurent alrededor de cero para la distribución envuelta en términos de la función característica de la distribución no envuelta: ^[2]${\displaystyle \phi (s)}$${\displaystyle p(\theta )}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }}$

o

${\displaystyle p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}.}$

Por analogía con las distribuciones lineales, se hace referencia a ellas como la función característica de la distribución envuelta ^[2] (o quizás más exactamente, la secuencia característica ). Esta es una instancia de la fórmula de suma de Poisson y se puede ver que los coeficientes de Fourier de la serie de Fourier para la distribución envuelta son solo los coeficientes de Fourier de la transformada de Fourier de la distribución no envuelta en valores enteros.${\displaystyle \phi (m)}$

Momentos

Los momentos de la distribución envuelta se definen como:${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz.}$

Expresando en términos de la función característica e intercambiando el orden de integración y suma se obtiene:${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz.}$

De la teoría de los residuos tenemos

${\displaystyle \oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}}$

donde está la función delta de Kronecker . De ello se deduce que los momentos son simplemente iguales a la función característica de la distribución no envuelta para argumentos enteros:${\displaystyle \delta _{k}}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\phi (m).}$

Generación de variantes aleatorias

Si X es una variable aleatoria extraída de una distribución de probabilidad lineal P , entonces será una variable circular distribuida según la distribución P envuelta , y será la variable angular distribuida según la distribución P envuelta , con .${\displaystyle Z=e^{iX}}$${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

Entropía

La entropía de información de una distribución circular con densidad de probabilidad se define como: ^[1]${\displaystyle p_{w}(\theta )}$

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta }$

donde es cualquier intervalo de longitud . Si tanto la densidad de probabilidad como su logaritmo pueden expresarse como una serie de Fourier (o más generalmente, cualquier transformada integral en el círculo), entonces la propiedad de ortogonalidad puede usarse para obtener una representación en serie de la entropía que puede reducirse a una forma cerrada .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$

Los momentos de la distribución son los coeficientes de Fourier para la expansión de la serie de Fourier de la densidad de probabilidad:${\displaystyle \phi (n)}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }}$

Si el logaritmo de la densidad de probabilidad también se puede expresar como una serie de Fourier:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }}$

donde

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta }$

Luego, intercambiando el orden de integración y suma, la entropía se puede escribir como:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta }$

Usando la ortogonalidad de la base de Fourier, la integral se puede reducir a:

${\displaystyle H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$

Para el caso particular cuando la densidad de probabilidad es simétrica con respecto a la media, y el logaritmo se puede escribir:${\displaystyle c_{-m}=c_{m}}$

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

y

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta }$

y, dado que la normalización requiere eso , la entropía se puede escribir:${\displaystyle \phi _{0}=1}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$

Ver también

• Distribución normal envuelta
• Distribución de Cauchy envuelta
• Distribución exponencial envuelta

Referencias

Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . Ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Julio de 2011 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

1. Mardia, Kantilal ; Jupp, Peter E. (1999). Estadísticas direccionales . Wiley. ISBN 978-0-471-95333-3. Consultado el 19 de julio de 2011 .
2. Mardia, K. (1972). Estadísticas de datos direccionales . Nueva York: Prensa académica.

• Borradaile, Graham (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la tierra . Saltador. ISBN 978-3-540-43603-4.
• Fisher, NI (1996). Análisis estadístico de datos circulares . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-56890-6.

enlaces externos

• Matemáticas y estadísticas de valores circulares con C ++ 11 , una infraestructura de C ++ 11 para valores circulares (ángulos, hora del día, etc.) matemáticas y estadísticas