En matemáticas , un poset diferencial es un conjunto parcialmente ordenado (o poset para abreviar) que satisface ciertas propiedades locales. (La definición formal se da a continuación.) Esta familia de posets fue introducida por Stanley (1988) como una generalización del enrejado de Young (el poset de particiones enteras ordenadas por inclusión), muchas de cuyas propiedades combinatorias son compartidas por todos los posets diferenciales. Además del enrejado de Young, el otro ejemplo más significativo de un conjunto diferencial es el enrejado de Young-Fibonacci .
Definiciones
Se dice que un poset P es un poset diferencial, y en particular que es r -differential (donde r es un entero positivo), si satisface las siguientes condiciones:
- P está clasificado y es localmente finito con un elemento mínimo único;
- para cada dos elementos distintos x , y de P , el número de elementos que cubren tanto x como y es el mismo que el número de elementos que cubren tanto x como y ; y
- para cada elemento x de P , el número de elementos que cubren x es exactamente r más que el número de elementos cubiertos por x .
Estas propiedades básicas pueden reformularse de diversas formas. Por ejemplo, muestra Stanley que el número de elementos que cubren dos elementos distintos x y Y de un poset diferencial es siempre 0 o 1, por lo que la segunda definición de propiedad podría ser alterado en consecuencia.
Las propiedades definitorias también pueden reformularse en el siguiente escenario algebraico lineal : tomando los elementos del poset P como vectores de base formal de un espacio vectorial (de dimensión infinita) , sean D y U los operadores definidos de modo que D x sea igual a la suma de los elementos cubiertos por x , y U x es igual a la suma de los elementos que cubren x . (Los operadores D y U se denominan operador ascendente y descendente , por razones obvias). Entonces, la segunda y tercera condiciones pueden ser reemplazadas por el enunciado de que DU - UD = rI (donde I es la identidad).
Esta última reformulación convierte un poset diferencial en una realización combinatoria de un álgebra de Weyl , y en particular explica el nombre diferencial : los operadores " d / dx " y "multiplicación por x " en el espacio vectorial de polinomios obedecen a la misma relación de conmutación que U y D / r .
Ejemplos de
Los ejemplos canónicos de posets diferenciales son el enrejado de Young, el poset de particiones enteras ordenadas por inclusión y el enrejado de Young-Fibonacci. El artículo inicial de Stanley estableció que la celosía de Young es la única celosía distributiva de 1 diferencial , mientras que Byrnes (2012) mostró que estas son las únicas celosías de 1 diferencial .
Existe una construcción canónica (llamada "reflexión") de un poset diferencial dado un poset finito que obedece a todos los axiomas definitorios por debajo de su rango superior. (El enrejado de Young-Fibonacci es el poset que surge al aplicar esta construcción comenzando con un solo punto). Esto puede usarse para mostrar que hay infinitos posets diferenciales. Stanley (1988) incluye una observación de que "[David] Wagner describió un método muy general para construir posets diferenciales que hacen poco probable que [puedan ser clasificados]". Esto se precisa en Lewis (2007) , donde se muestra que hay innumerables posets 1-diferencial. Por otro lado, los ejemplos explícitos de posets diferenciales son raros; Lewis (2007) ofrece una descripción intrincada de un conjunto diferencial distinto de las redes de Young y Young-Fibonacci.
La red de Young-Fibonacci tiene un análogo diferencial r natural para cada entero positivo r . Estos posets son celosías y se pueden construir mediante una variación de la construcción de reflexión. Además, el producto de una posición diferencial r y diferencial s es siempre una posición diferencial ( r + s ). Esta construcción también conserva la propiedad de celosía. No se sabe para ningún r > 1 si existen retículos r -diferenciales distintos de los que surgen al tomar productos de los retículos de Young-Fibonacci y del retículo de Young.
¿Existen rejillas diferenciales que no sean productos de la rejilla de Young y de las rejillas de Young-Fibonacci?
Crecimiento de rango
Además de la cuestión de si existen otras redes diferenciales, hay varios problemas abiertos de larga data relacionados con el crecimiento de rango de las posiciones diferenciales. En Stanley (1988) se conjeturaba que si P es un conjunto diferencial con r n vértices en el rango n , entonces
donde p ( n ) es el número de particiones enteros de n y F n es el n º número de Fibonacci . En otras palabras, la conjetura establece que en cada rango, cada conjunto diferencial tiene un número de vértices que se encuentran entre los números de la red de Young y la red de Young-Fibonacci. El límite superior se demostró en Byrnes (2012) . El límite inferior permanece abierto. Stanley y Zanello (2012) demostraron una versión asintótica del límite inferior, mostrando que
para cada poset diferencial y alguna constante a . En comparación, la función de partición tiene asintóticas
Todos los límites conocidos en los tamaños de rango de las posiciones diferenciales son funciones de rápido crecimiento. En el artículo original de Stanley, se demostró (usando valores propios del operador DU ) que los tamaños de rango están aumentando débilmente. Sin embargo, pasaron 25 años antes de que Miller (2013) mostrara que los tamaños de rango de un poset diferencial r aumentan estrictamente (excepto trivialmente entre los rangos 0 y 1 cuando r = 1).
Propiedades
Cada posconjunto diferencial P comparte un gran número de propiedades combinatorias. Algunos de estos incluyen:
- ¡¡El número de caminos de longitud 2 n en el diagrama de Hasse de P que comienzan y terminan en el elemento mínimo es (2 n - 1) !! (aquí los signos de exclamación denotan el factorial doble ). En una posición r -diferencial, el número de tales caminos es (2 n - 1) !! r n . [1]
- El número de trayectorias de longitud 2 n en el diagrama de Hasse de P que comienza con el elemento mínimo de modo que los primeros n pasos cubren las relaciones de un elemento menor a uno mayor de P, mientras que los últimos n pasos cubren relaciones de un mayor a un mayor. elemento más pequeño de P es n !. En un poset diferencial r , el número es n ! r n . [2]
- El número de trayectorias ascendentes de longitud n en el diagrama de Hasse de P que comienzan con el elemento mínimo es igual al número de involuciones en el grupo simétrico en n letras. En una r poset -differential, la secuencia de estos números tiene función de generación exponencial e rx + x 2 /2 . [3]
Generalizaciones
En un poset diferencial, se utiliza el mismo conjunto de aristas para calcular los operadores U y D hacia arriba y hacia abajo . Si se permiten diferentes conjuntos de aristas hacia arriba y hacia abajo (que comparten los mismos conjuntos de vértices y satisfacen la misma relación), el concepto resultante es el grafo de gradación dual , inicialmente definido por Fomin (1994) . Se recuperan posets diferenciales en el caso de que coincidan los dos conjuntos de aristas.
Gran parte del interés por los postulados diferenciales se inspira en sus conexiones con la teoría de la representación . Los elementos del enrejado de Young son particiones enteras, que codifican las representaciones de los grupos simétricos y están conectadas al anillo de funciones simétricas ; Okada (1994) definió álgebras cuya representación está codificada en cambio por la red de Young-Fibonacci, y permite construcciones análogas como una versión Fibonacci de funciones simétricas. No se sabe si existen álgebras similares para cada poset diferencial. [ cita requerida ] En otra dirección, Lam & Shimozono (2009) definió gráficas de calificación dual correspondientes a cualquier álgebra de Kac-Moody .
Son posibles otras variaciones; Stanley (1990) definió versiones en las que el número r en la definición varía de un rango a otro, mientras que Lam (2008) definió un análogo firmado de posiciones diferenciales en las que se puede asignar a las relaciones de cobertura un "peso" de -1.
Referencias
- ^ Richard Stanley, Combinatoria enumerativa, volumen 1 (segunda edición). Cambridge University Press, 2011. [1] , versión del 15 de julio de 2011. Teorema 3.21.7, página 384.
- ^ Richard Stanley, Combinatoria enumerativa, volumen 1 (segunda edición). Cambridge University Press, 2011. [2] , versión del 15 de julio de 2011. Teorema 3.21.8, página 385.
- ^ Richard Stanley, Combinatoria enumerativa, volumen 1 (segunda edición). Cambridge University Press, 2011. [3] , versión del 15 de julio de 2011. Teorema 3.21.10, página 386.
- Byrnes, Patrick (2012), Aspectos estructurales de los posets diferenciales , ISBN 9781267855169( Tesis de Doctorado de la UMN )
- Fomin, Sergey (1994), "Dualidad de gráficos graduados", Journal of Algebraic Combinatorics , 3 (4): 357–404, doi : 10.1023 / A: 1022412010826
- Lam, Thomas (2008), "Poses diferenciales firmadas y desequilibrio de signo", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 115 (3): 466–484, arXiv : math / 0611296 , doi : 10.1016 / j.jcta.2007.07. 003 , S2CID 10802016
- Lam, Thomas F .; Shimozono, Mark (2007), "Gráficos de calificación dual para álgebras Kac-Moody", Álgebra y teoría de números , 1 (4): 451–488, arXiv : math / 0702090 , doi : 10.2140 / ant.2007.1.451 , S2CID 18253442
- Lewis, Joel Brewster (2007), Sobre posets diferenciales (PDF)( Tesis de pregrado de Harvard College )
- Miller, Alexander (2013), "Las posiciones diferenciales tienen un crecimiento de rango estricto: una conjetura de Stanley", Order , 30 (2): 657–662, arXiv : 1202.3006 , doi : 10.1007 / s11083-012-9268-y , S2CID 38737147 arXiv: 1202.3006 [math.CO]
- Okada, Soichi (1994), "Álgebras asociadas a la red de Young-Fibonacci", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 346 (2): 549-568, doi : 10.2307 / 2154860 , JSTOR 2154860
- Stanley, Richard P. (1988), "Poses diferenciales", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense, Sociedad Matemática Estadounidense, 1 (4): 919–961, doi : 10.2307 / 1990995 , JSTOR 1990995
- Stanley, Richard P. (1990), Variaciones sobre posiciones diferenciales , IMA Vol. Matemáticas. Appl., 19 , Springer, págs. 145-165 Parámetro desconocido
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ignorado ( ayuda ) - Stanley, Richard P .; Zanello, Fabrizio (2012), "Sobre la función de rango de un Poset diferencial" , Revista electrónica de combinatoria , 19 (2): P13, doi : 10.37236 / 2258 , S2CID 7405057