En matemáticas, y más específicamente en álgebra conmutativa combinatoria , un gráfico de divisor cero es un gráfico no dirigido que representa los divisores cero de un anillo conmutativo . Tiene elementos del anillo como vértices y pares de elementos cuyo producto es cero como aristas . [1]
Definición
Hay dos variaciones del gráfico de divisor cero que se utilizan comúnmente. En la definición original de Beck (1988) , los vértices representan todos los elementos del anillo. [2] En una variante posterior estudiada por Anderson y Livingston (1999) , los vértices representan solo los divisores cero del anillo dado. [3]
Ejemplos de
Si es un número semiprimo (el producto de dos números primos ) luego el gráfico divisor cero del anillo de números enteros módulo(con solo los divisores cero como vértices) es un gráfico completo o un gráfico bipartito completo . Es un grafico completo en el caso de que para algún número primo . Porque en este caso los vértices son todos los múltiplos distintos de cero de, y el producto de dos de estos números es 0 módulo . [3]
Es un gráfico bipartito completo en el caso de que para dos números primos distintos y . Los dos lados de la bipartición son los múltiplos distintos de cero de y el múltiplos distintos de cero de , respectivamente. Dos números (que no son en sí mismos cero módulo) multiplicar a cero módulo si y solo si uno es un múltiplo de y el otro es un múltiplo de , por lo que este gráfico tiene un borde entre cada par de vértices en lados opuestos de la bipartición, y ningún otro borde. De manera más general, el gráfico de divisor cero es un gráfico bipartito completo para cualquier anillo que sea producto de dos dominios integrales . [3]
Los únicos gráficos de ciclo que se pueden realizar como gráficos de producto cero (con cero divisores como vértices) son los ciclos de longitud 3 o 4. [3] Los únicos árboles que pueden realizarse como gráficos de divisor cero son las estrellas (bipartito completo gráficos que son árboles) y el árbol de cinco vértices formado como el gráfico divisor cero de. [1] [3]
Propiedades
En la versión del gráfico que incluye todos los elementos, 0 es un vértice universal , y los divisores cero se pueden identificar como los vértices que tienen un vecino distinto de 0. Debido a que tiene un vértice universal, el gráfico de todos los elementos del anillo es siempre conectado y tiene un diámetro máximo de dos. La gráfica de todos los divisores de cero no está vacía para cada anillo que no es un dominio integral . Permanece conectado, tiene un diámetro como máximo de tres, [3] y (si contiene un ciclo) tiene una circunferencia como máximo de cuatro. [4] [5]
El gráfico de divisor cero de un anillo que no es un dominio integral es finito si y solo si el anillo es finito. [3] Más concretamente, si el gráfico tiene un grado máximo, el anillo tiene como máximo elementos. Si el anillo y el gráfico son infinitos, cada borde tiene un punto final con infinitos vecinos. [1]
Beck (1988) conjeturó que (como las gráficas perfectas ) las gráficas de divisor cero siempre tienen el mismo número de clique y número cromático . Sin embargo, eso no es verdad; Anderson y Naseer (1993) descubrieron un contraejemplo . [6]
Referencias
- ^ a b c Anderson, David F .; Axtell, Michael C .; Stickles, Joe A., Jr. (2011), "Gráficos de divisor cero en anillos conmutativos", Álgebra conmutativa: perspectivas noetherianas y no noetherianas , Springer, Nueva York, págs. 23–45, doi : 10.1007 / 978-1 -4419-6990-3_2 , MR 2762487
- ^ Beck, István (1988), "Coloración de anillos conmutativos", Journal of Algebra , 116 (1): 208–226, doi : 10.1016 / 0021-8693 (88) 90202-5 , MR 0944156
- ^ a b c d e f g Anderson, David F .; Livingston, Philip S. (1999), "La gráfica de divisor cero de un anillo conmutativo", Journal of Algebra , 217 (2): 434–447, doi : 10.1006 / jabr.1998.7840 , MR 1700509
- ^ Mulay, SB (2002), "Ciclos y simetrías de divisores cero", Comunicaciones en álgebra , 30 (7): 3533–3558, doi : 10.1081 / AGB-120004502 , MR 1915011
- ^ DeMeyer, Frank; Schneider, Kim (2002), "Automorfismos y gráficas de divisor cero de anillos conmutativos", Anillos conmutativos , Hauppauge, NY: Nova Science, págs. 25-37, MR 2037656
- ^ Anderson, DD; Naseer, M. (1993), "El color de Beck de un anillo conmutativo", Journal of Algebra , 159 (2): 500–514, doi : 10.1006 / jabr.1993.1171 , MR 1231228