El álgebra conmutativa combinatoria es una disciplina matemática relativamente nueva y de rápido desarrollo . Como su nombre lo indica, se encuentra en la intersección de dos campos más establecidos, el álgebra conmutativa y la combinatoria , y con frecuencia usa métodos de uno para abordar los problemas que surgen en el otro. De manera menos obvia, la geometría poliédrica juega un papel importante.
Uno de los hitos en el desarrollo del tema fue la prueba de 1975 de Richard Stanley de la Conjetura del límite superior para esferas simpliciales , que se basó en trabajos anteriores de Melvin Hochster y Gerald Reisner. Si bien el problema se puede formular puramente en términos geométricos, los métodos de la demostración se basaron en técnicas de álgebra conmutativa.
Un teorema característico del álgebra conmutativa combinatoria es la caracterización de los vectores h de politopos simpliciales conjeturada en 1970 por Peter McMullen . Conocido como teorema g , fue probado en 1979 por Stanley ( necesidad de las condiciones, argumento algebraico) y por Louis Billera y Carl W. Lee ( suficiencia , construcción combinatoria y geométrica). Una gran pregunta abierta fue la extensión de esta caracterización de los politopos simpliciales a las esferas simpliciales, la conjetura g , que fue resuelta en 2018 por Karim Adiprasito .
Nociones importantes de álgebra conmutativa combinatoria
- Ideal monomial sin cuadrados en un anillo polinomial y anillo Stanley-Reisner de un complejo simplicial .
- Anillo Cohen-Macaulay .
- Anillo monomial , estrechamente relacionado con un anillo de semigrupo afín y con el anillo coordinado de una variedad tórica afín .
- Álgebra con ley de enderezamiento . Hay varias versiones de esos, incluidas las álgebras de Hodge de Corrado de Concini , David Eisenbud y Claudio Procesi .
Ver también
Referencias
Un artículo fundamental sobre los complejos Stanley-Reisner de uno de los pioneros de la teoría:
- Melvin Hochster , anillos de Cohen-Macaulay, combinatorios y complejos simpliciales . Teoría del anillo, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), págs. 171–223. Notas de la conferencia en Pure y Appl. Math., Vol. 26, Dekker, Nueva York, 1977.
El primer libro es un clásico (primera edición publicada en 1983):
- Richard Stanley , combinatoria y álgebra conmutativa . Segunda edicion. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x + 164 págs. ISBN 0-8176-3836-9
Libro de texto-monografía muy influyente y bien escrito:
- Winfried Bruns; Jürgen Herzog, anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN 0-521-41068-1
Lectura adicional:
- Rafael Villarreal, Álgebras monomiales . Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, 238. Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 2001. x + 455 págs. ISBN 0-8247-0524-6
- Takayuki Hibi, Combinatoria algebraica en politopos convexos , Publicaciones Carslaw, Glebe, Australia, 1992
- Bernd Sturmfels , bases Gröbner y politopos convexos . Serie de conferencias universitarias, 8. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xii + 162 págs. ISBN 0-8218-0487-1
- Winfried Bruns, Joseph Gubeladze, Polytopes, Rings y K-Theory , Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2009. 461 págs. ISBN 978-0-387-76355-2
Una adición reciente a la creciente literatura en el campo, contiene una exposición de temas de investigación actuales:
- Ezra Miller, Bernd Sturmfels, álgebra conmutativa combinatoria . Textos de posgrado en matemáticas , 227. Springer-Verlag, Nueva York, 2005. xiv + 417 págs. ISBN 0-387-22356-8
- Jürgen Herzog y Takayuki Hibi, Monomial Ideals . Textos de posgrado en matemáticas, 260. Springer-Verlag, Nueva York, 2011. 304 págs.