En álgebra lineal , una matriz nilpotente es una matriz cuadrada N tal que
para algún entero positivo . El más pequeño de esosse llama el índice de, [1] a veces el grado de.
De manera más general, una transformación nilpotente es una transformación lineal de un espacio vectorial tal que para algún entero positivo (y por lo tanto, para todos ). [2] [3] [4] Ambos conceptos son casos especiales de un concepto más general de nilpotencia que se aplica a elementos de anillos .
Ejemplos de
Ejemplo 1
La matriz
es nilpotente con índice 2, ya que .
Ejemplo 2
De manera más general, cualquier -matriz triangular dimensional con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente, con índice. Por ejemplo, la matriz
es nilpotente, con
El índice de es por tanto 4.
Ejemplo 3
Aunque los ejemplos anteriores tienen una gran cantidad de entradas cero, una matriz nilpotente típica no las tiene. Por ejemplo,
aunque la matriz no tiene entradas cero.
Ejemplo 4
Además, cualquier matriz de la forma
como
o
cuadrado a cero.
Ejemplo 5
Quizás algunos de los ejemplos más llamativos de matrices nilpotentes son matrices cuadradas de la forma:
Los primeros son:
Estas matrices son nilpotentes pero no hay entradas cero en ninguna potencia de ellas menor que el índice. [5]
Caracterización
Por un matriz cuadrada con entradas reales (o complejas ), las siguientes son equivalentes:
- es nilpotente.
- El polinomio característico para es .
- El polinomio mínimo para es para algún entero positivo .
- El único valor propio complejo para es 0.
El último teorema es válido para matrices sobre cualquier campo de característica 0 o característica suficientemente grande. (cf. identidades de Newton )
Este teorema tiene varias consecuencias, que incluyen:
- El índice de un matriz nilpotente es siempre menor o igual a . Por ejemplo, cada Cuadrados de matriz nilpotentes a cero.
- El determinante y la traza de una matriz nilpotente son siempre cero. En consecuencia, una matriz nilpotente no puede ser invertible .
- La única matriz diagonalizable nilpotente es la matriz cero.
Clasificación
Considera el matriz de cambios :
Esta matriz tiene unos a lo largo de la superdiagonal y ceros en todas partes. Como una transformación lineal, la matriz de desplazamiento "desplaza" los componentes de un vector una posición a la izquierda, con un cero que aparece en la última posición:
Esta matriz es nilpotente con grado , y es la matriz nilpotente canónica .
Específicamente, si es cualquier matriz nilpotente, entonces es similar a una matriz diagonal de bloques de la forma
donde cada uno de los bloques es una matriz de cambios (posiblemente de diferentes tamaños). Esta forma es un caso especial de la forma canónica de Jordan para matrices. [7]
Por ejemplo, cualquier matriz nilpotente 2 × 2 distinta de cero es similar a la matriz
Es decir, si es cualquier matriz nilpotente 2 × 2 distinta de cero, entonces existe una base b 1 , b 2 tal que N b 1 = 0 y N b 2 = b 1 .
Este teorema de clasificación es válido para matrices sobre cualquier campo . (No es necesario que el campo esté cerrado algebraicamente).
Bandera de subespacios
Una transformación nilpotente en determina naturalmente una bandera de subespacios
y una firma
La firma caracteriza hasta una transformación lineal invertible . Además, satisface las desigualdades
Por el contrario, cualquier secuencia de números naturales que satisfaga estas desigualdades es la firma de una transformación nilpotente.
Propiedades adicionales
- Si es nilpotente, entonces y son invertibles , donde es el matriz de identidad . Las inversas están dadas por
- Si es nilpotente, entonces
- Cada matriz singular se puede escribir como un producto de matrices nilpotentes. [8]
- Una matriz nilpotente es un caso especial de una matriz convergente .
Generalizaciones
Un operador lineal es localmente nilpotente si para cada vector, existe un tal que
Para los operadores en un espacio vectorial de dimensión finita, la nilpotencia local es equivalente a la nilpotencia.
Notas
- ^ Herstein (1975 , p. 294)
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 312)
- ^ Herstein (1975 , p. 268)
- ^ Nering (1970 , p. 274)
- ^ Mercer, Idris D. (31 de octubre de 2005). "Encontrar" matrices nilpotentes no obvias (PDF) . math.sfu.ca . autoeditado; credenciales personales: PhD Mathematics, Simon Fraser University . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 312)
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 312,313)
- ^ R. Sullivan, Productos de matrices nilpotentes, Álgebra lineal y multilineal , Vol. 56, núm. 3
Referencias
- Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
- Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2a ed.), John Wiley & Sons
- Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2a ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646
enlaces externos
- Matriz nilpotente y transformación nilpotente en PlanetMath .