Armónicos esféricos zonales

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En el estudio matemático de la simetría rotacional , los armónicos esféricos zonales son armónicos esféricos especiales que son invariantes bajo la rotación a través de un eje fijo particular. Las funciones esféricas zonales son una amplia extensión de la noción de armónicos esféricos zonales para permitir un grupo de simetría más general .

En la esfera bidimensional, el armónico esférico zonal único de grado ℓ invariante bajo rotaciones que fijan el polo norte se representa en coordenadas esféricas por

donde P _ℓ es un polinomio de Legendre de grado ℓ. El armónico esférico zonal general de grado ℓ se denota por , donde x es un punto en la esfera que representa el eje fijo e y es la variable de la función. Esto se puede obtener mediante la rotación del armónico zonal básico.${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

En el espacio euclidiano de n dimensiones, los armónicos esféricos zonales se definen de la siguiente manera. Sea x un punto en la ( n −1)-esfera. Definir como la representación dual del funcional lineal${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$

en el espacio de Hilbert de dimensión finita H _ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ. En otras palabras, se cumple la siguiente propiedad de reproducción :

Los armónicos zonales aparecen naturalmente como coeficientes del núcleo de Poisson para la bola unitaria en R ⁿ : para los vectores unitarios x e y ,

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