Dejar ser un espacio de Hilbert sobre un campo dónde son los números reales o los números complejos Si (resp. si ) luego se denomina espacio de Hilbert complejo (o espacio de Hilbert real ). Cada espacio real de Hilbert puede extenderse para ser un subconjunto denso de un espacio de Hilbert complejo único (hasta isometría biyectiva ), llamado su complexificación , por lo que los espacios de Hilbert a menudo se asumen automáticamente como complejos. Los espacios de Hilbert reales y complejos tienen en común muchas, pero no todas, propiedades y resultados / teoremas.
Este artículo está dirigido tanto a matemáticos como a físicos y describirá el teorema de ambos. Tanto en matemáticas como en física, si se supone que un espacio de Hilbert es real (es decir, si) entonces esto generalmente quedará claro. A menudo, en matemáticas, y especialmente en física, a menos que se indique lo contrario, normalmente se asume automáticamente que "espacio de Hilbert" significa "espacio de Hilbert complejo". Dependiendo del autor, en matemáticas, "espacio de Hilbert" generalmente significa (1) un espacio de Hilbert complejo, o (2) un espacio de Hilbert real o complejo.
Mapas lineales y antilineales
Por definición, un mapa antilineal (también llamado mapa lineal conjugado )es un mapa entre espacios vectoriales que es aditivo :
para todos
y antilineal (también llamado conjugado-lineal o conjugado-homogéneo ):
Cada constante El mapa es siempre lineal y antilineal. Sientonces las definiciones de mapas lineales y mapas antilineales son completamente idénticas. Un mapa lineal desde un espacio de Hilbert a un espacio de Banach (o más generalmente, desde cualquier espacio de Banach a cualquier espacio vectorial topológico ) es continuo si y sólo si está acotado ; lo mismo ocurre con los mapas antilineales. La inversa de cualquier biyección antilineal (resp. Lineal) es nuevamente una biyección antilineal (resp. Lineal). La composición de dos contra mapas lineales es una lineal mapa.
Espacios continuos duales y anti-duales
Un funcional en es una función cuyo codominio es el campo escalar subyacente Denotamos por (resp. por el conjunto de todos los funcionales lineales continuos (resp. continuo antilineal) en que se llama el espacio dual (continuo) (resp. el espacio anti-dual (continuo) ) de[1] Si luego funcionales lineales en son los mismos que los funcionales antilineales y, en consecuencia, lo mismo es cierto para tales mapas continuos: es decir,
Correspondencia uno a uno entre funcionales lineales y antilineales
Dado cualquier funcional el conjugado de f es el funcional denotado por
y definido por
Esta asignación es más útil cuando porque si luego y la tarea se reduce al mapa de identidad.
La asignación define una correspondencia biyectiva antilineal del conjunto de
todos los funcionales (resp. todos los funcionales lineales, todos los funcionales lineales continuos ) en
en el set de
todos los funcionales (resp. todos los funcionales anti lineales, todos los funcionales anti lineales continuos ) en
Notaciones y definiciones de matemática frente a física del producto interno
El espacio Hilberttiene un producto interno asociado , que es un mapavalorado en el campo subyacente de Hque es lineal en una coordenada y antilineal en la otra (como se describe en detalle a continuación). Si es un espacio de Hilbert complejo (es decir, si ), que es muy a menudo el caso, entonces qué coordenada es antilineal y cuál es lineal se convierte en un tecnicismo muy importante. Sin embargo, siluego, el producto interno es un mapa simétrico que es simultáneamente lineal en cada coordenada (es decir, bilineal) y antilineal en cada coordenada. En consecuencia, la cuestión de qué coordenada es lineal y cuál antilineal es irrelevante para los espacios de Hilbert reales .
Notación para el producto interior
En matemáticas , el producto interno en un espacio de Hilbert a menudo se denota por o mientras que en física , la notación bra-ket o se utiliza normalmente en su lugar. En este artículo, estas dos notaciones estarán relacionadas por la igualdad:
para todos
Completar definiciones del producto interno
Los mapas y se supone que tienen las siguientes dos propiedades:
El mapa es lineal en su primera coordenada; equivalentemente, el mapaes lineal en su segunda coordenada. Explícitamente, esto significa que para cada fijo el mapa que se denota por y definido por
para todos
es un funcional lineal en
De hecho, este funcional lineal es continuo, por lo que
El mapa es anti lineal en su segunda coordenada; equivalentemente, el mapaes anti lineal en su primera coordenada. Explícitamente, esto significa que para cada fijo el mapa que se denota por y definido por
para todos
es un funcional antilineal en H
De hecho, esta función antilineal es continua, por lo que
En matemáticas , la convención predominante (es decir, la definición de un producto interno) es que el producto interno es lineal en la primera coordenada y antilineal en la otra coordenada. En física , la convención / definición es, desafortunadamente, la opuesta , lo que significa que el producto interno es lineal en la segunda coordenada y antilineal en la otra coordenada. Este artículo no elegirá una definición sobre la otra. En cambio, las suposiciones hechas anteriormente hacen que la notación matemáticasatisface la convención / definición matemática para el producto interno (es decir, lineal en la primera coordenada y antilineal en la otra), mientras que la notación física bra-ketsatisface la convención / definición de la física para el producto interno (es decir, lineal en la segunda coordenada y antilineal en la otra). En consecuencia, los dos supuestos anteriores hacen que la notación utilizada en cada campo sea consistente con la convención / definición de ese campo para qué coordenada es lineal y cuál es antilineal.
Norma canónica y producto interno en el espacio dual y el espacio anti-dual
Si luego es un número real no negativo y el mapa
define una norma canónica sobre lo que hace en un espacio de Banach . [1] Al igual que con todos los espacios de Banach, el espacio dual (continuo)lleva una norma canónica, llamada norma dual , que se define por [1]
para cada
La norma canónica sobre el espacio anti-dual (continuo) denotado por se define utilizando esta misma ecuación: [1]
para cada
Esta norma canónica sobre cumple la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede utilizar para definir un producto interno canónico en que este artículo denotará por las nociones
donde gira este producto interior en un espacio de Hilbert. Además, la norma canónica inducida por este producto interno (es decir, la norma definida por) es consistente con la norma dual (es decir, como se define arriba por el supremo sobre la bola unitaria); explícitamente, esto significa que lo siguiente es válido para cada:
Como se describirá más adelante, el teorema de representación de Riesz se puede utilizar para dar una definición equivalente de la norma canónica y el producto interno canónico en
Las mismas ecuaciones que se utilizaron anteriormente también se pueden utilizar para definir una norma y un producto interno en Es por espacio anti-dual [1]
Isometría canónica entre lo dual y lo antidual
El conjugado complejo de un funcional que se definió anteriormente, satisface
y,
para cada y cada Esto dice exactamente que la biyección antilineal canónica definida por
dónde
así como su inverso son isometrías antilineales y consecuentemente también homeomorfismos . Si luego y este mapa canónico se reduce al mapa de identidad.
Teorema de representación de Riesz
Teorema - Seaser un espacio de Hilbert cuyo producto interior es lineal en su primer argumento y antilineal en su segundo argumento (la notaciónse utiliza en física). Para cada funcional lineal continuo existe un único tal que
para todos
y además,
Es importante destacar que para los espacios complejos de Hilbert, tenga en cuenta que el vector siempre se encuentra en la coordenada antilineal del producto interno (sin importar qué notación se use). [nota 1]
En consecuencia, el mapa definido por es una isometría antilineal biyectiva cuya inversa es la isometría antilineal definido por Para la notación física para lo funcional es el sujetador donde explícitamente esto significa que que complementa la notación de Ket definido por
Prueba -
Dejar Luego es el subespacio cerrado de Si (o de manera equivalente, si ) entonces tomamos y terminamos. Así que asume
Primero se muestra que es unidimensional. Usando el lema de Zorn o el teorema del buen orden, se puede demostrar que existe algún vector distinto de cero en - demostrar que esto se deja como ejercicio para el lector. Continuamos: Vamos y ser vectores distintos de cero en Luego y y debe existir un número complejo distinto de cero tal que Esto implica que y entonces Desde esto implica que como se desee.
Ahora deja ser un vector unitario en Por arbitrario dejar ser la proyección ortogonal de sobre Luego y (a partir de las propiedades de las proyecciones ortogonales), de modo que y Por lo tanto
Debido a esto, tomamos También vemos que
De la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz y entonces si tiene norma de unidad entonces Desde tiene norma de unidad, tenemos ∎
Observaciones:
En particular, siempre tenemos es real, donde si y solo si si y solo si
Mostrando que hay un vector distinto de cero en se basa en la continuidad de y la integridad de Cauchy de Este es el único lugar de la prueba en el que se utilizan estas propiedades.
Construcciones
Usando la notación del teorema anterior, ahora proporcionamos formas de construir de
Si luego } y de otra manera para cualquier
Si es un vector unitario entonces
Si g es un vector unitario que satisface la condición anterior, lo mismo ocurre con que también es un vector unitario en Sin emabargo, por lo que ambos vectores dan como resultado el mismo
Si y es la proyección ortogonal de sobre luego [nota 2]
Suponer y deja donde nota que desde es real y es un subconjunto adecuado de Si reinterpretamos como un espacio real de Hilbert (con el producto interno de valor real habitual definido por ), luego tiene codimensión real en dónde tiene codimensión real en y (es decir es perpendicular a con respecto a ).
En el teorema y las construcciones anteriores, si reemplazamos con su contraparte espacial real de Hilbert y si reemplazamos con luego lo que significa que obtendremos exactamente el mismo vector mediante el uso y el funcional lineal real como hicimos con el complejo de origen del espacio de Hilbert }} y funcional lineal complejo original (también con valores normativos idénticos).
Dado cualquier funcional lineal continuo el elemento correspondiente puede ser construido de forma única por
dónde es una base ortonormal de H , y el valor deno varía según la elección de la base. Por tanto, si luego
Inyección canónica de un espacio Hilbert a su dual y anti-dual
Para cada el producto interior en se puede utilizar para definir dos mapas canónicos continuos (es decir, acotados):
El mapa definido colocando en la coordenada antilineal del producto interno y dejando que la variablevariar sobre la coordenada lineal da como resultado un funcional lineal en H :
definido por
Este mapa es un elemento de que es el espacio dual continuo de El mapa canónico de en su dual[1] es la lucha contra operador lineal
definido por
que también es una isometría inyectiva . [1] El teorema de representación de Riesz establece que este mapa es sobreyectivo (y por lo tanto biyectivo ). En consecuencia, cada funcional lineal continuo ense puede escribir (de forma única) en esta forma. [1]
El mapa definido colocando en la coordenada lineal del producto interno y dejando que la variablevariar sobre la coordenada antilineal da como resultado un funcional antilineal :
definido por
Este mapa es un elemento de que es el espacio continuo anti-dual deEl mapa canónico de en su anti-dual[1] es el operador lineal
definido por
que también es una isometría inyectiva . [1] El teorema fundamental de los espacios de Hilbert , que está relacionado con el teorema de representación de Riesz, establece que este mapa es sobreyectivo (y por lo tanto biyectivo ). En consecuencia, cada funcional antilineal ense puede escribir (de forma única) en esta forma. [1]
Si es la isometría biyectiva anti lineal canónica que se definió anteriormente, entonces se cumple la siguiente igualdad:
Adjuntos y transposiciones
Dejar ser un operador lineal continuo entre espacios de Hilbert y Como antes, deja y
Definición del adjunto
Para cada el mapa con valores escalares en definido por
es un funcional lineal continuo en y así, según el teorema de representación de Riesz, existe un vector único en denotado por tal que
para todos
El adjunto de es el operador lineal definido por la condición:
para todos y todo
El adjunto es un operador lineal continuo (es decir, acotado).
Los adjuntos son transposiciones
También es posible definir la transposición de cual es el mapa definido enviando un funcional lineal continuo a
dónde es siempre un funcional lineal continuo en
El adjunto es en realidad solo para la transposición cuando se utiliza el teorema de representación de Riesz para identificar con y con Para hacer esto explícito, dejemos y ser las isometrías antilineales biyectivas definidas respectivamente por
y
para que por definición
para todos y para todos
Se puede demostrar que la relación entre el adjunto y la transposición (ver nota a pie de página para la prueba) [nota 3] es:
que se puede reescribir como:
y
El operador lineal continuo es, por tanto , autoadjunto (es decir, igual a su propio adjunto) si y solo si
o equivalente,
Ampliación de la notación bra-ket a sujetadores y kets
Dejar ser un espacio de Hilbert y como antes, dejemos Dejar ser la isometría antilineal biyectiva definida por
para que por definición
para todos
Sujetadores
Dado un vector dejar denotar el funcional lineal continuo ; es decir, El resultado de tapar algunos dados en lo funcional es el escalar dónde es la notación que se usa en lugar de o La asignación es solo el isomorfismo antilineal isométrico entonces se mantiene para todos y todos los escalares
Dado un funcional lineal continuo dejar denotar el vector ; es decir, La condición definitoria del vector es la igualdad técnicamente correcta pero antiestética
para todos
por eso la notación se usa en lugar de La condición definitoria se convierte en
para todos
La asignación es solo el isomorfismo antilineal isométrico entonces se mantiene para todos y todos los escalares
Kets
Para cualquier vector dado la notación se usa para denotar ; es decir, La notación y se usa en lugar de y respectivamente. Como se esperaba, y realmente es solo el escalar
Propiedades del mapa antilineal inducido
El mapeo definido por = es un isomorfismo antilineal isométrico , lo que significa que:
es biyectiva .
Las normas de y estar de acuerdo:
Usando este hecho, este mapa podría usarse para dar una definición equivalente de la norma dual canónica de El producto interior canónico en podría definirse de manera similar.
es aditivo :
Si el campo base es luego para todos los números reales
Si el campo base es luego para todos los números complejos dónde denota la conjugación compleja de
El mapa inverso dese puede describir de la siguiente manera. Dado un elemento distinto de cero de el complemento ortogonal del núcleo de es un subespacio unidimensional de Toma un elemento distinto de cero en ese subespacio, y establecer Luego =
Alternativamente, la asignación puede verse como una isometría lineal biyectiva en el espacio anti-dual de[1] , que es el complejo conjugado de espacio vectorial del espacio dual continuo
Históricamente, el teorema se atribuye a menudo simultáneamente a Riesz y Fréchet en 1907 (véanse las referencias).
En el tratamiento matemático de la mecánica cuántica , el teorema puede verse como una justificación de la popular notación bra-ket . El teorema dice que, cada sujetador tiene un ket correspondiente y este último es único.
Ver también
Teorema fundamental de los espacios de Hilbert
Notas
^ a b c d e f g h i j k l Trèves 2006 , págs. 112-123.
^ Si entonces el producto interno será simétrico, por lo que no importa qué coordenada del producto interno es el elemento se coloca en porque resultará el mismo mapa. Pero si entonces excepto por la constante mapa, funcionales antilineales enson completamente distintos de los funcionales lineales en lo que hace que la coordenada se coloca en es muy importante. Para un no ceropara inducir un funcional lineal (en lugar de un funcional anti lineal),debe ser colocado en la lucha contra lineal de coordenadas del producto interior. Si se coloca incorrectamente en la coordenada lineal en lugar de la coordenada antilineal, el mapa resultante será el mapa antilinealque no es un funcional lineal eny por lo tanto no será un elemento del espacio dual continuo
^ Dado que debemos tener Ahora usa y y resolver para
^ Para demostrar que reparar La definición de implica por lo que queda por demostrar que Si luego como se desee. ◼
Referencias
Fréchet, M. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires" . Les Comptes rendus de l'Académie des sciences (en francés). 144 : 1414-1416.
P. Teoría de la medida de Halmos , D. van Nostrand and Co., 1950.
P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book , Springer, Nueva York 1982 (el problema 3 contiene una versión para espacios vectoriales con sistemas de coordenadas) .
Riesz, F. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (en francés). 144 : 1409-1411.
Riesz, F. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (en francés). 149 : 974–977.
Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Walter Rudin, Análisis real y complejo , McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6 .
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .