Operador de proyección de Zwanzig

El operador de proyección de Zwanzig es un dispositivo matemático utilizado en mecánica estadística . ^[1] Opera en el espacio lineal de funciones de espacio de fase y se proyecta sobre el subespacio lineal de funciones de espacio de fase "lentas". Fue introducido por Robert Zwanzig para derivar una ecuación maestra genérica . Se utiliza principalmente en este contexto o en un contexto similar de manera formal para derivar ecuaciones de movimiento para algunas variables colectivas "lentas" . ^[2]

Variables lentas y producto escalar

El operador de proyección de Zwanzig opera sobre funciones en el espacio de fase dimensional de partículas puntuales con coordenadas y momentos . Un subconjunto especial de estas funciones es un conjunto enumerable de "variables lentas" . Los candidatos para algunas de estas variables podrían ser los componentes de Fourier de longitud de onda larga de la densidad de masa y los componentes de Fourier de longitud de onda larga de la densidad de momento con el vector de onda identificado con . El operador de proyección de Zwanzig se basa en estas funciones, pero no dice cómo encontrar las variables lentas de un hamiltoniano dado .${\displaystyle 6N}$${\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle A(\Gamma )=\{A_{n}(\Gamma )\}}$${\displaystyle \rho _{k}(\Gamma )}$${\displaystyle \mathbf {\pi } _{\mathbf {k} }(\Gamma )}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H(\Gamma )}$

Un producto escalar ^[3] entre dos funciones de espacio de fase arbitrarias y se define por la correlación de equilibrio${\displaystyle f_{1}(\Gamma )}$${\displaystyle f_{2}(\Gamma )}$

${\displaystyle \left(f_{1},f_{2}\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f_{1}\left(\Gamma \right)f_{2}\left(\Gamma \right),}$

donde

${\displaystyle \rho _{0}\left(\Gamma \right)={\frac {\delta \left(H\left(\Gamma \right)-E\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\delta \left(H\left(\Gamma ^{\prime }\right)-E\right)}},}$

denota la distribución de equilibrio microcanónico . Las variables "rápidas", por definición, son ortogonales a todas las funciones de este producto escalar. Esta definición establece que las fluctuaciones de las variables rápidas y lentas no están correlacionadas y, de acuerdo con la hipótesis ergódica, esto también es cierto para los promedios de tiempo. Si una función genérica está correlacionada con algunas variables lentas, entonces se pueden restar funciones de variables lentas hasta que quede la parte rápida no correlacionada de . El producto de una variable lenta y una rápida es una variable rápida.${\displaystyle G(A(\Gamma ))}$${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle f(\Gamma )}$${\displaystyle f(\Gamma )}$

El operador de proyección

Considere el conjunto continuo de funciones con constante. Cualquier función de espacio de fase que dependa solo de a través es una función de , a saber${\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)=\prod _{n}\delta (A_{n}(\Gamma )-a_{n})}$${\displaystyle a=a_{n}}$${\displaystyle G(A(\Gamma ))}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle \Phi _{a}}$

${\displaystyle G(A\left(\Gamma \right))=\int daG\left(a\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}$

Una función de espacio de fase genérica se descompone de acuerdo con${\displaystyle f(\Gamma )}$

${\displaystyle f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)+R\left(\Gamma \right),}$

donde está la parte rápida de . Para obtener una expresión para la parte lenta de tomar el producto escalar con la función lenta ,${\displaystyle R(\Gamma )}$${\displaystyle f(\Gamma )}$${\displaystyle F(\Gamma )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta (A(\Gamma )-a)}$

${\displaystyle \int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)F\left(A\left(\Gamma \right)\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=F\left(a\right)\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}$

Esto da una expresión para , y por lo tanto para el operador que proyecta una función arbitraria en su parte "lenta" dependiendo solo de ,${\displaystyle F(\Gamma )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f(\Gamma )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A(\Gamma )}$

${\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)={\frac {\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)f\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}}.}$

Esta expresión concuerda con la expresión dada por Zwanzig, ^[1] excepto que Zwanzig subsume en las variables lentas. El operador de proyección Zwanzig cumple y . La parte rápida de es . Las funciones de variables lentas y, en particular, los productos de variables lentas son variables lentas. Por tanto, el espacio de variables lentas es un álgebra. El álgebra en general no se cierra bajo el corchete de Poisson, incluido el corchete de Poisson con el hamiltoniano .${\displaystyle H(\Gamma )}$${\displaystyle PG(A(\Gamma ))=G(A(\Gamma ))}$${\displaystyle P^{2}=P}$${\displaystyle f(\Gamma )}$${\displaystyle (1-P)f(\Gamma )}$

Conexión con Liouville y la ecuación de Master

La justificación última para la definición de como se dio anteriormente es que permite derivar una ecuación maestra para la distribución de probabilidad dependiente del tiempo de las variables lentas (o ecuaciones de Langevin para las propias variables lentas).${\displaystyle P}$${\displaystyle p(a,t)}$

Para bosquejar los pasos típicos, denotemos la distribución de probabilidad dependiente del tiempo en el espacio de fase. La densidad del espacio de fase (así como ) es una solución de la ecuación de Liouville${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)=\rho _{0}(\Gamma )\sigma (\Gamma ,t)}$${\displaystyle \sigma (\Gamma ,t)}$${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}$

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\sigma (\Gamma ,t)=L\sigma (\Gamma ,t).}$

El paso crucial entonces es escribir , y proyectar la ecuación de Liouville en el lento y el subespacio rápido, ^[1]${\displaystyle \rho _{1}=P\sigma }$${\displaystyle \rho _{2}=(1-P)\sigma }$

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{1}=PL\rho _{1}+PL\rho _{2},}$

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{2}=\left(1-P\right)L\rho _{2}+\left(1-P\right)L\rho _{1}.}$

Resolver la segunda ecuación e insertar en la primera ecuación da una ecuación cerrada para (consulte la ecuación de Nakajima-Zwanzig ). La última ecuación finalmente da una ecuación para donde denota la distribución de equilibrio de las variables lentas.${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{2}(\Gamma ,t)}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle p(A(\Gamma ),t)=p_{0}(A(\Gamma ))\rho _{1}(\Gamma ,t),}$${\displaystyle p_{0}(a)}$

Ecuaciones de Langevin no lineales

El punto de partida para la derivación estándar de una ecuación de Langevin es la identidad , donde se proyecta en el subespacio rápido. Considere pequeños pasos discretos con el operador de evolución , donde está el operador de Liouville . El objetivo es expresar en términos de y . La motivación es que es funcional de variables lentas y que genera expresiones que son variables rápidas en cada paso de tiempo. La expectativa es que las variables rápidas aisladas de esta manera se puedan representar mediante algunos datos del modelo, por ejemplo, mediante un ruido blanco gaussiano. La descomposición se consigue multiplicando desde la izquierda con , excepto el último término, que se multiplica por${\displaystyle 1=P+Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle U\cong 1+i\tau L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U^{n}}$${\displaystyle U^{k}P}$${\displaystyle Q(UQ)^{m}}$${\displaystyle U^{k}P}$${\displaystyle Q(UQ)^{m}}$${\displaystyle 1=P+Q}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U=PU+QU}$. La iteración da

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=P+Q,\\U&=UP+PUQ+QUQ,\\...&=...\\U^{n}&=U^{n}P+\sum _{m=1}^{n}U^{n-m}P\left(UQ\right)^{m}+Q\left(UQ\right)^{n}.\end{aligned}}}$

La última línea también se puede probar por inducción. Asumir y realizar el límite conduce directamente a la identidad del operador de Kawasaki ^[2]${\displaystyle U=1+itL/n}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle e^{itL}=e^{itL}P+i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}+Qe^{itLQ}.}$

Una ecuación genérica Langevin se obtiene mediante la aplicación de esta ecuación a la derivada temporal de una variable lento , ,${\displaystyle A}$${\displaystyle dA(\Gamma ,t)/dt=e^{itL}(dA(\Gamma ,t)/dt)_{t=0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}\left(\Gamma ,t\right)&=V+K+R,\\V&=e^{itL}P{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right),\\K&=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right)=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLR\left(s\right),\\R&=Qe^{itLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right).\end{aligned}}}$

Aquí está la fuerza fluctuante (solo depende de variables rápidas). Modo de acoplamiento plazo y de amortiguación término se funcionales de y y puede ser simplificado considerablemente. ^{[1] [2] [4]}${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle A(t-s)}$

Conjunto discreto de funciones, relación con el operador de proyección Mori

En lugar de expandir la parte lenta de en el conjunto continuo de funciones, también se podría usar algún conjunto enumerable de funciones . Si estas funciones constituyen un conjunto completo de funciones ortonormales, el operador de proyección simplemente lee${\displaystyle f(\Gamma )}$${\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)}$${\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}$

${\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=\sum _{n}\left(f,\Phi _{n}\right)\Phi _{n}\left(A\left(\Gamma \right)\right).}$

Una opción especial son las combinaciones lineales ortonormalizadas de las variables lentas . Esto lleva al operador de proyección Mori. ^[3] Sin embargo, el conjunto de funciones lineales no está completo y las variables ortogonales no son rápidas o aleatorias si entra en juego la no linealidad .${\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}$${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle A}$

Referencias

1. Zwanzig, Robert (1961). "Efectos de la memoria en termodinámica irreversible". Phys. Rev . 124 (4): 983–992. Código Bibliográfico : 1961PhRv..124..983Z . doi : 10.1103 / physrev.124.983 .
2. Kawasaki, K. (1973). "Derivaciones simples de ecuaciones de Langevin lineales y no lineales generalizadas". J. Phys. A: Matemáticas. Nucl. Gen . 6 (9): 1289-1295. Código bibliográfico : 1973JPhA .... 6.1289K . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 6/9/004 .
3. Mori, H. (1965). "Transporte, movimiento colectivo y movimiento browniano" . Prog. Theor. Phys . 33 (3): 423–455. Código Bibliográfico : 1965PThPh..33..423M . doi : 10.1143 / ptp.33.423 .
4. Gunton, JD (1979). "Teoría del acoplamiento de modos en relación con el método de grupos de renormalización dinámica". Apuntes de clases de física . 104 : 1-24. doi : 10.1007 / 3-540-09523-3_1 . ISBN 978-3-540-09523-1.