En mecánica cuántica , los símbolos Wigner 3-j , también llamados símbolos 3 -jm , son una alternativa a los coeficientes de Clebsch-Gordan con el propósito de agregar momentos angulares. [1] Si bien los dos enfoques abordan exactamente el mismo problema físico, los símbolos 3- j lo hacen de manera más simétrica.
Relación matemática con los coeficientes de Clebsch-Gordan
Los símbolos 3- j se dan en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan por
Los j y m componentes son números angular-impulso cuánticos, es decir, cada j (y cada correspondiente m ) es ya sea un entero no negativo o medio-entero impar . El exponente del factor de signo es siempre un número entero, por lo que permanece igual cuando se transpone a la izquierda, y la relación inversa sigue al hacer la sustitución m 3 → - m 3 :
Relación de definición con los coeficientes de Clebsch-Gordan
Los coeficientes CG se definen para expresar la suma de dos momentos angulares en términos de un tercero:
Los símbolos 3- j , en cambio, son los coeficientes con los que se deben sumar tres momentos angulares para que la resultante sea cero:
Aquí es el estado de momento angular cero (). Es evidente que el símbolo 3- j trata los tres momentos angulares involucrados en el problema de la suma en pie de igualdad y, por lo tanto, es más simétrico que el coeficiente CG.
Ya que el estado no cambia por rotación, también se dice que la contracción del producto de tres estados rotacionales con un símbolo 3- j es invariante bajo rotaciones.
Reglas de selección
El símbolo de Wigner 3- j es cero a menos que se cumplan todas estas condiciones:
Propiedades de simetría
Un símbolo 3- j es invariante bajo una permutación par de sus columnas:
Una permutación impar de las columnas da un factor de fase:
Cambiando el signo del Los números cuánticos ( inversión de tiempo ) también dan una fase:
Los símbolos 3- j también tienen las llamadas simetrías de Regge, que no se deben a permutaciones o inversiones de tiempo. [2] Estas simetrías son:
Con las simetrías de Regge, el símbolo 3- j tiene un total de 72 simetrías. Estos se muestran mejor mediante la definición de un símbolo de Regge, que es una correspondencia uno a uno entre este y un símbolo 3- j y asume las propiedades de un cuadrado semimágico: [3]
donde las 72 simetrías ahora corresponden a 3! fila y 3! intercambios de columnas más una transposición de la matriz. Estos hechos pueden usarse para diseñar un esquema de almacenamiento efectivo. [3]
Relaciones de ortogonalidad
Un sistema de dos momentos angulares con magnitudes j 1 y j 2 puede describirse en términos de los estados base desacoplados (etiquetados por los números cuánticos m 1 y m 2 ), o los estados base acoplados (etiquetados por j 3 y m 3 ). Los símbolos 3- j constituyen una transformación unitaria entre estas dos bases, y esta unitaridad implica las relaciones de ortogonalidad
El delta triangular { j 1 j 2 j 3 } es igual a 1 cuando la tríada ( j 1 , j 2 , j 3 ) satisface las condiciones del triángulo, y es cero en caso contrario. El delta triangular en sí mismo a veces se llama confusamente [4] un " símbolo 3- j " (sin la m ) en analogía con los símbolos 6- j y 9- j , todos los cuales son sumas irreductibles de símbolos 3- jm donde no hay m variables permanecer.
Relación con los armónicos esféricos
Los símbolos 3- jm dan la integral de los productos de tres armónicos esféricos [ cita requerida ]
con , y enteros.
Relación con integrales de armónicos esféricos ponderados por espín
Existen relaciones similares para los armónicos esféricos ponderados por espín si:
Relaciones de recursividad
Expresiones asintóticas
Para un símbolo 3- j distinto de cero es
dónde , y es una función de Wigner . Generalmente una mejor aproximación que obedece a la simetría de Regge viene dada por
dónde .
Tensor métrico
La siguiente cantidad actúa como un tensor métrico en la teoría del momento angular y también se conoce como símbolo de Wigner 1-jm : [1]
Se puede utilizar para realizar inversiones de tiempo en momentos angulares.
Otras propiedades
donde P son polinomios de Legendre .
Relación con los coeficientes V de Racah
Los símbolos Wigner 3- j están relacionados con los coeficientes V de Racah [5] mediante una fase simple:
Ver también
Referencias
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