En física, los símbolos 9- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1937. Están relacionados con coeficientes de reacoplamiento en mecánica cuántica que involucran cuatro momentos angulares.
Reacoplamiento de cuatro vectores de momento angular
Acoplamiento de dos momentos angulares y es la construcción de funciones propias simultáneas de y , dónde , como se explica en el artículo sobre los coeficientes de Clebsch-Gordan .
El acoplamiento de tres momentos angulares se puede realizar de varias formas, como se explica en el artículo sobre coeficientes W de Racah . Usando la notación y las técnicas de ese artículo, estados de momento angular total que surgen del acoplamiento de los vectores de momento angular, , , y puede escribirse como
Alternativamente, uno puede primero emparejar y a y y a , antes de acoplar y a :
Ambos conjuntos de funciones proporcionan una base ortonormal completa para el espacio con dimensión abarcado por
Por tanto, la transformación entre los dos conjuntos es unitaria y los elementos de la matriz de la transformación están dados por los productos escalares de las funciones. Como en el caso de los coeficientes W de Racah, los elementos de la matriz son independientes del número cuántico de proyección del momento angular total ():
Relaciones de simetría
Un símbolo 9- j es invariante bajo la reflexión sobre las permutaciones diagonales y pares de sus filas o columnas:
Una permutación extraña de filas o columnas produce un factor de fase , dónde
Por ejemplo:
Reducción a 6j símbolos
Los símbolos 9- j se pueden calcular como sumas sobre productos triples de 6- j símbolos donde la suma se extiende sobre todo x admitido por las condiciones del triángulo en los factores:
- .
Caso especial
Cuándo el símbolo 9- j es proporcional a un símbolo 6-j :
Relación de ortogonalidad
Los símbolos 9- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:
El delta triangular { j 1 j 2 j 3 } es igual a 1 cuando la tríada ( j 1 , j 2 , j 3 ) satisface las condiciones del triángulo y cero en caso contrario.
3 símbolos n -j
El símbolo 6-j es el primer representante, n = 2 , de 3 n - j símbolos que se definen como sumas de productos de n de los coeficientes 3- jm de Wigner . Las sumas son sobre todas las combinaciones de m que admiten los 3 n - j coeficientes, es decir, que conducen a contribuciones que no desaparecen.
Si cada factor de 3- jm está representado por un vértice y cada j por una arista, estos 3 n - j símbolos se pueden mapear en ciertos gráficos 3 regulares con 3 n vértices y 2 n nodos. El símbolo 6- j está asociado con el gráfico K 4 en 4 vértices, el símbolo 9- j con el gráfico de utilidad en 6 vértices ( K 3,3 ) y los dos símbolos 12- j distintos (no isomórficos) con el Gráficos Q 3 y Wagner en 8 vértices. Las relaciones de simetría son generalmente representativas del grupo de automorfismos de estos gráficos.
Ver también
- Coeficientes de Clebsch-Gordan
- Símbolo 3-j , también llamado símbolo 3-jm
- Coeficiente W de Racah
- Símbolo 6-j
- Símbolo 9-j
Referencias
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- Maximon, Leonard C. (2010), "3j, 6j, 9j Symbols" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
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enlaces externos
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- Laboratorio de Plasma del Instituto de Ciencias Weizmann. "Calculadora de símbolos 369j" . (Responda como números de coma flotante)
- Fack, Veerl; van Dyck, Dries. "Applet GYutsis" .
- Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)" . (exacto; C, fortran, python)
- Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" . (búsqueda rápida, precisa; C, fortran)