Los coeficientes W de Racah fueron introducidos por Giulio Racah en 1942. [1] Estos coeficientes tienen una definición puramente matemática. En física, se utilizan en cálculos que involucran la descripción mecánica cuántica del momento angular , por ejemplo, en la teoría atómica .
Los coeficientes aparecen cuando hay tres fuentes de momento angular en el problema. Por ejemplo, considere un átomo con un electrón en un orbital s y un electrón en un orbital p . Cada electrón tiene un momento angular de espín de electrones y, además, el orbital p tiene un momento angular orbital (un orbital s tiene un momento angular orbital cero). El átomo puede describirse mediante acoplamiento LS o mediante acoplamiento jj como se explica en el artículo sobre acoplamiento de momento angular . La transformación entre las funciones de onda que corresponden a estos dos acoplamientos implica un coeficiente W de Racah.
Aparte de un factor de fase, los coeficientes W de Racah son iguales a los símbolos 6-j de Wigner , por lo que cualquier ecuación que involucre los coeficientes W de Racah se puede reescribir usando símbolos 6- j . Esto suele ser ventajoso porque las propiedades de simetría de los símbolos 6- j son más fáciles de recordar.
Los coeficientes de Racah están relacionados con los coeficientes de reacoplamiento por
Los coeficientes de acoplamiento son elementos de una transformación unitaria y su definición se da en la siguiente sección. Los coeficientes Racah tienen propiedades de simetría más convenientes que los coeficientes de reacoplamiento (pero menos convenientes que los símbolos 6- j ). [2]
Coeficientes de reacoplamiento
Acoplamiento de dos momentos angulares y es la construcción de funciones propias simultáneas de y , dónde , como se explica en el artículo sobre los coeficientes de Clebsch-Gordan . El resultado es
dónde y .
Acoplamiento de tres momentos angulares , , y , se puede hacer mediante el primer acoplamiento y a y próximo acoplamiento y al momento angular total :
Alternativamente, uno puede primero emparejar y a y la próxima pareja y a :
Ambos esquemas de acoplamiento dan como resultado bases ortonormales completas para el espacio dimensional abarcado por
Por tanto, las dos bases del momento angular total están relacionadas mediante una transformación unitaria. Los elementos de la matriz de esta transformación unitaria están dados por un producto escalar y se conocen como coeficientes de reacoplamiento. Los coeficientes son independientes de y así tenemos
La independencia de sigue fácilmente escribiendo esta ecuación para y aplicando el operador de descenso a ambos lados de la ecuación.
Álgebra
Dejar
ser el factor triangular habitual, entonces el coeficiente de Racah es un producto de cuatro de estos por una suma de factoriales,
dónde
y
La suma terminada es finito en el rango [3]
Relación con el símbolo 6-j de Wigner
Los coeficientes W de Racah están relacionados con los símbolos 6-j de Wigner , que tienen propiedades de simetría aún más convenientes.
Cf. [4] o
Ver también
Notas
- ↑ Racah, G. (1942). "Teoría de espectros complejos II". Revisión física . 62 (9-10): 438-462. Código Bibliográfico : 1942PhRv ... 62..438R . doi : 10.1103 / PhysRev.62.438 .
- ^ Rose, YO (1957). Teoría elemental del momento angular (Dover).
- ^ Cowan, RD (1981). La teoría de la estructura atómica y los espectros (Univ of California Press), p. 148.
- ^ Brink, DM y Satchler, GR (1968). Momento angular (Oxford University Press) 3ed., pág. 142. en línea
Otras lecturas
- Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9.
- Condon, Edward U .; Shortley, GH (1970). "Capítulo 3" . La teoría de los espectros atómicos . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09209-4.
- Mesías, Albert (1981). Mecánica cuántica (Volumen II) (12ª ed.). Nueva York: North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7.
- Sato, Masachiyo (1955). "Fórmula general del coeficiente Racah" . Progreso de la Física Teórica . 13 (4): 405–414. Código Bibliográfico : 1955PThPh..13..405S . doi : 10.1143 / PTP.13.405 .
- Brink, DM; Satchler, GR (1993). "Capítulo 2" . Momento angular (3ª ed.). Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
- Zare, Richard N. (1988). "Capitulo 2". Momento angular . Nueva York: John Wiley . ISBN 0-471-85892-7.
- Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8.
enlaces externos
- "Coeficientes de Racah-Wigner" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]