Modelo AKLT

Modelo en mecánica cuántica topológica

El modelo AKLT es una extensión del modelo de espín cuántico unidimensional de Heisenberg . La propuesta y la solución exacta de este modelo por Affleck , Lieb , Kennedy y Tasaki ^[1] proporcionaron una visión crucial de la física de la cadena de Heisenberg spin-1. ^{[2] [3] [4] [5]} También ha servido como un ejemplo útil para conceptos tales como orden sólido de enlace de valencia, orden topológico protegido por simetría ^{[6] [7] [8] [9]} y estado del producto de la matriz funciones de onda.

Fondo

Una de las principales motivaciones del modelo AKLT fue la cadena Majumdar-Ghosh . Debido a que dos de cada conjunto de tres giros vecinos en un estado fundamental de Majumdar-Ghosh se emparejan en un enlace singlete o de valencia, nunca se puede encontrar que los tres giros juntos estén en un estado de giro 3/2. De hecho, el Hamiltoniano de Majumdar-Ghosh no es más que la suma de todos los proyectores de tres giros vecinos en un estado 3/2.

La idea principal del artículo de AKLT fue que esta construcción podría generalizarse para obtener modelos exactamente resolubles para tamaños de giro distintos de 1/2. Así como un extremo de un enlace de valencia es un espín 1/2, los extremos de dos enlaces de valencia se pueden combinar en un espín 1, tres en un espín 3/2, etc.

Definición

Affleck y col. estaban interesados ​​en construir un estado unidimensional con un enlace de valencia entre cada par de sitios. Debido a que esto conduce a dos espines 1/2 para cada sitio, el resultado debe ser la función de onda de un sistema de espín 1.

Por cada par adyacente de espines 1, dos de los cuatro espines 1/2 constituyentes están atascados en un estado de espín cero total. Por lo tanto, cada par de spin 1 tiene prohibido estar en un estado combinado de spin 2. Al escribir esta condición como una suma de proyectores, AKLT llegó al siguiente hamiltoniano

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{j}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}}$

donde son operadores spin-1.${\textstyle {\vec {S_{i}}}}$

Este hamiltoniano es similar al modelo de espín cuántico de Heisenberg unidimensional de espín 1, pero tiene un término de interacción de espín "bicuadrático" adicional.

Estado fundamental

Por construcción, el estado fundamental del AKLT Hamiltoniano es el enlace de valencia sólido con un enlace de valencia único que conecta cada par de sitios vecinos. Gráficamente, esto puede representarse como

Aquí los puntos sólidos representan 1/2 espín que se ponen en estados singlete. Las líneas que conectan los 1/2 de espín son los enlaces de valencia que indican el patrón de singletes. Los óvalos son operadores de proyección que "unen" dos espines 1/2 en un solo espín 1, proyectando el espín 0 o subespacio singlete y manteniendo solo el espín 1 o subespacio triplete. Los símbolos "+", "0" y "-" etiquetan los estados de base de spin 1 estándar (estados propios del operador). ^[10]${\displaystyle S^{z}}$

Gire 1/2 estados de borde

Para el caso de espines dispuestos en un anillo (condiciones de contorno periódicas), la construcción AKLT produce un estado fundamental único. Pero para el caso de una cadena abierta, el primer y último espín 1 tienen solo un vecino, dejando uno de sus espines 1/2 constituyentes sin emparejar. Como resultado, los extremos de la cadena se comportan como 1/2 momentos de giro libre aunque el sistema consta de solo 1 de giro.

Los estados de giro 1/2 borde de la cadena AKLT se pueden observar de diferentes maneras. Para cadenas cortas, los estados de borde se mezclan en un singlete o un triplete dando un estado fundamental único o un multiplete triple de estados fundamentales. Para cadenas más largas, los estados del borde se desacoplan exponencialmente rápidamente en función de la longitud de la cadena, lo que conduce a una variedad de estado fundamental que está cuatro veces degenerado. ^[11] Al usar un método numérico como DMRG para medir la magnetización local a lo largo de la cadena, también es posible ver los estados de los bordes directamente y mostrar que pueden eliminarse colocando 1 / 2s de giro real en los extremos. ^[12]Incluso se ha demostrado que es posible detectar los estados de giro 1/2 del borde en las mediciones de un compuesto magnético cuasi-1D que contiene una pequeña cantidad de impurezas cuya función es romper las cadenas en segmentos finitos. ^[13]

Representación del estado del producto matricial

La simplicidad del estado fundamental de AKLT permite que se represente en forma compacta como un estado de producto de matriz . Esta es una función de onda de la forma

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}$

Aquí, las A son un conjunto de tres matrices etiquetadas por y la traza proviene de suponer condiciones de contorno periódicas.${\displaystyle s_{j}}$

La función de onda del estado fundamental del AKLT corresponde a la elección: ^[10]

${\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}$

${\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}$

donde está una matriz de Pauli .${\displaystyle \sigma }$

Generalizaciones y extensiones

El modelo AKLT se ha resuelto en celosías de mayor dimensión, ^{[1] [14]} incluso en cuasicristales . ^{[ cita requerida ]} El modelo también ha sido construido para álgebras de Lie superiores, incluyendo SU ( n ) , ^{[15] [16]} SO ( n ) , ^[17] Sp (n) ^[18] y extendido a los grupos cuánticos SUq ( n ). ^[19]

Referencias

1. Affleck, Ian; Kennedy, Tom; Lieb, Elliott H .; Tasaki, Hal (1987). "Resultados rigurosos en estados fundamentales de enlace de valencia en antiferromagnetos". Cartas de revisión física . 59 (7): 799–802. Código bibliográfico : 1987PhRvL..59..799A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.59.799 . PMID 10035874 . 
2. Haldane, FDM (1983). "Teoría de campo no lineal de antiferromagnetos de Heisenberg de espín grande: Solitones cuantificados semiclásicamente del estado Néel unidimensional de eje fácil" . Phys. Rev. Lett . 50 (15): 1153. Código Bibliográfico : 1983PhRvL..50.1153H . doi : 10.1103 / physrevlett.50.1153 .
3. Haldane, FDM (1983). "Dinámica continua del antiferromagnet de Heisenberg 1-D: identificación con el modelo sigma no lineal O (3)". Phys. Letón. Una . 93 (9): 464. Bibcode : 1983PhLA ... 93..464H . doi : 10.1016 / 0375-9601 (83) 90631-x .
4. Affleck, I .; Haldane, FDM (1987). "Teoría crítica de las cadenas de espín cuántico". Phys. Rev. B . 36 (10): 5291–5300. Código Bibliográfico : 1987PhRvB..36.5291A . doi : 10.1103 / physrevb.36.5291 . PMID 9942166 . 
5. Affleck, I. (1989). "Cadenas de giro cuántico y la brecha de Haldane". J. Phys .: Condens. Materia . 1 (19): 3047. Código Bibliográfico : 1989JPCM .... 1.3047A . doi : 10.1088 / 0953-8984 / 1/19/001 .
6. Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2009). "Enfoque de renormalización de filtrado de enredos-tensor y orden topológico protegido por simetría". Phys. Rev. B . 80 (15): 155131. arXiv : 0903.1069 . Código Bibliográfico : 2009PhRvB..80o5131G . doi : 10.1103 / physrevb.80.155131 . S2CID 15114579 . 
7. Pollmann, F .; Berg, E .; Turner, Ari M .; Oshikawa, Masaki (2012). "Protección de simetría de fases topológicas en sistemas de espín cuántico unidimensionales" (PDF) . Phys. Rev. B . 85 (7): 075125. arXiv : 0909.4059 . Código Bibliográfico : 2012PhRvB..85g5125P . doi : 10.1103 / PhysRevB.85.075125 . S2CID 53135907 .  
8. Chen, Xie; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2011). "Clasificación de fases simétricas con huecos en sistemas de espín 1D". Phys. Rev. B . 83 (3): 035107. arXiv : 1008,3745 . Código bibliográfico : 2011PhRvB..83c5107C . doi : 10.1103 / physrevb.83.035107 . S2CID 9139955 . 
9. Chen, Xie; Liu, Zheng-Xin; Wen, Xiao-Gang (2011). "Órdenes topológicas protegidas por simetría 2D y sus excitaciones de borde sin espacios protegidos". Phys. Rev. B . 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Código Bibliográfico : 2011PhRvB..84w5141C . doi : 10.1103 / physrevb.84.235141 . S2CID 55330505 . 
10. Schollwöck, Ulrich (2011). "El grupo de renormalización de la matriz de densidad en la era de los estados del producto matricial". Annals of Physics . 326 (1): 96-192. arXiv : 1008.3477 . Código Bibliográfico : 2011AnPhy.326 ... 96S . doi : 10.1016 / j.aop.2010.09.012 . S2CID 118735367 . 
11. Kennedy, Tom (1990). "Diagonalizaciones exactas de cadenas abiertas spin-1". J. Phys. Condensa. Materia . 2 (26): 5737–5745. Código bibliográfico : 1990JPCM .... 2.5737K . doi : 10.1088 / 0953-8984 / 2/26/010 .
12. Blanco, Steven; Huse, David (1993). "Estudio de grupo de renormalización numérica de autoestados bajos de la cadena antiferromagnética S = 1 Heisenberg". Phys. Rev. B . 48 (6): 3844–3852. Código Bibliográfico : 1993PhRvB..48.3844W . doi : 10.1103 / PhysRevB.48.3844 . PMID 10008834 . 
13. Hagiwara, M .; Katsumata, K .; Affleck, Ian; Halperin, BI; Renard, JP (1990). "Observación de S = 1/2 grados de libertad en un antiferromagnet de Heisenberg de cadena lineal S = 1". Phys. Rev. Lett . 65 (25): 3181–3184. Código Bibliográfico : 1990PhRvL..65.3181H . doi : 10.1103 / PhysRevLett.65.3181 . PMID 10042802 . 
14. Wei, T.-C .; Affleck, I .; Raussendorf, R. (2012). "El estado de Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki en un entramado de panal es un recurso computacional cuántico universal". Phys. Rev. Lett . 106 (7): 070501. arXiv : 1009.2840 . Código Bibliográfico : 2011PhRvL.106g0501W . doi : 10.1103 / PhysRevLett.106.070501 . PMID 21405505 . S2CID 15546839 .  
15. Greiter, Martin; Rachel, Stephan; Schuricht, Dirk (2007). "Resultados exactos para cadenas de espín SU (3): estados trimer, sólidos de enlace de valencia y sus padres hamiltonianos". Phys. Rev. B . 75 (6): 060401 (R). arXiv : cond-mat / 0701354 . Código Bibliográfico : 2007PhRvB..75f0401G . doi : 10.1103 / PhysRevB.75.060401 . S2CID 119373252 . 
16. Greiter, Martin; Rachel, Stephan (2007). "Sólidos de enlace de valencia para cadenas de espín SU (n): modelos exactos, confinamiento de espín y la brecha de Haldane". Phys. Rev. B . 75 (18): 184441. arXiv : cond-mat / 0702443 . Código Bibliográfico : 2007PhRvB..75r4441G . doi : 10.1103 / PhysRevB.75.184441 . S2CID 55917580 . 
17. Tu, Hong-Hao; Zhang, Guang-Ming; Xiang, Tao (2008). "Clase de cadenas de espín simétricas SO (n) con solución exacta con estados de base del producto matricial". Phys. Rev. B . 78 (9): 094404. arXiv : 0806.1839 . Código Bibliográfico : 2008PhRvB..78i4404T . doi : 10.1103 / PhysRevB.78.094404 . S2CID 119200687 . 
18. Schuricht, Dirk; Rachel, Stephan (2008). "Valence enlazan estados sólidos con simetría simpléctica". Phys. Rev. B . 78 (1): 014430. arXiv : 0805.3918 . Código Bibliográfico : 2008PhRvB..78a4430S . doi : 10.1103 / PhysRevB.78.014430 . S2CID 118429445 . 
19. Santos, RA; Paraan, FNC; Korepin, VE; Klümper, A. (2012). "Espectros de entrelazamiento del modelo q-deformado de Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki y estados de producto de matriz". EPL . 98 (3): 37005. arXiv : 1112.0517 . Código bibliográfico : 2012EL ..... 9837005S . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 98/37005 . ISSN 0295-5075 . S2CID 119733552 .