El estado del producto de la matriz ( MPS ) es un estado cuántico de muchas partículas, escrito de la siguiente forma:
dónde son complejos , matrices cuadradas de orden(esta dimensión se llama dimensión local). Índicesrepasar los estados en la base computacional. Para qubits , es. Para qudits (sistemas de nivel d), es.
Es particularmente útil para tratar con los estados fundamentales de los modelos de espín cuántico unidimensionales (por ejemplo, el modelo de Heisenberg (cuántico) ). El parámetroestá relacionado con el entrelazamiento entre partículas. En particular, si el estado es un estado de producto (es decir, no está enredado en absoluto), se puede describir como un estado de producto de matriz con.
Para estados que son traslacionalmente simétricos, podemos elegir:
En general, cada estado se puede escribir en el formulario MPS (con creciendo exponencialmente con el número de partículas N ). Sin embargo, los MPS son prácticos cuandoes pequeño, por ejemplo, no depende del número de partículas. Salvo un pequeño número de casos específicos (algunos mencionados en la sección Ejemplos ), tal cosa no es posible, aunque en muchos casos sirve como una buena aproximación.
La descomposición de MPS no es única. Para las introducciones, consulte [1] y [2] . En el contexto de los autómatas finitos, véase [3] . Para el énfasis puesto en el razonamiento gráfico de las redes tensoriales, consulte la introducción [4] .
Obtención de MPS
Un método para obtener una representación MPS de un estado cuántico es utilizar la descomposición de Schmidt N - 1 veces. Alternativamente, si se conoce el circuito cuántico que prepara el estado de muchos cuerpos, primero se podría intentar obtener una representación del operador del producto matricial del circuito. Los tensores locales en el operador del producto matricial serán cuatro tensores de índice. El tensor de MPS local se obtiene contrayendo un índice físico del tensor de MPO local con el estado que se inyecta en el circuito cuántico en ese sitio.
Ejemplos de
Estado de Greenberger-Horne-Zeilinger
Estado de Greenberger-Horne-Zeilinger , que para N partículas se puede escribir como superposición de N ceros y N unos
puede expresarse como un estado de producto de matriz, hasta la normalización, con
o de manera equivalente, usando la notación de: [3]
Esta notación usa matrices con entradas que son vectores de estado (en lugar de números complejos), y al multiplicar matrices, usa el producto tensorial para sus entradas (en lugar del producto de dos números complejos). Tal matriz se construye como
Tenga en cuenta que el producto tensorial no es conmutativo .
En este ejemplo en particular, un producto de dos matrices A es:
Estado W
Estado W , es decir, la superposición de todos los estados de base computacional de Hamming pondera uno. Aunque el estado es simétrico por permutación, su representación MPS más simple no lo es. [1] Por ejemplo:
Modelo AKLT
La función de onda del estado fundamental de AKLT, que es el ejemplo histórico del enfoque MPS :, [5] corresponde a la elección [6]
donde el son matrices de Pauli , o
Modelo de Majumdar-Ghosh
El estado fundamental de Majumdar-Ghosh se puede escribir como MPS con
Ver también
Referencias
- ↑ a b Pérez-García, D .; Verstraete, F .; Wolf, MM (2008). "Representaciones matriciales del estado del producto". arXiv : quant-ph / 0608197 .
- ^ Verstraete, F .; Murg, V .; Cirac, JI (2008). "Estados de producto de matriz, estados de pares entrelazados proyectados y métodos de grupo de renormalización variacional para sistemas de espín cuántico". Avances en Física . 57 (2): 143–224. arXiv : 0907.2796 . Código Bibliográfico : 2008AdPhy..57..143V . doi : 10.1080 / 14789940801912366 .
- ^ a b Crosswhite, Gregory; Tocino, Dave (2008). "Autómatas finitos para el almacenamiento en caché en algoritmos de productos matriciales". Physical Review A . 78 (1): 012356. arXiv : 0708.1221 . Código Bibliográfico : 2008PhRvA..78a2356C . doi : 10.1103 / PhysRevA.78.012356 .
- ^ Biamonte, Jacob; Bergholm, Ville (2017). "Tensor Networks en pocas palabras": 35. arXiv : 1708.00006 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Affleck, Ian; Kennedy, Tom; Lieb, Elliott H .; Tasaki, Hal (1987). "Resultados rigurosos en estados fundamentales de enlace de valencia en antiferromagnetos". Cartas de revisión física . 59 (7): 799–802. Código bibliográfico : 1987PhRvL..59..799A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.59.799 . PMID 10035874 .
- ^ Schollwöck, Ulrich (2011). "El grupo de renormalización de la matriz de densidad en la era de los estados del producto matricial". Annals of Physics . 326 : 96-192. arXiv : 1008.3477 . Código Bibliográfico : 2011AnPhy.326 ... 96S . doi : 10.1016 / j.aop.2010.09.012 .
enlaces externos
- Artículo de revisión de código abierto centrado en algoritmos, aplicaciones y software de redes tensoriales
- Estado de los estados del producto de la matriz - respuestas aquí
- Una introducción práctica a las redes de tensores: estados de productos matriciales y estados de pares entrelazados proyectados
- Danza interpretativa y agitar las manos: un curso introductorio sobre redes tensoriales
- Tensor Networks en pocas palabras: Introducción a Tensor Networks