El orden topológico protegido por simetría (SPT) [1] [2] es un tipo de orden en los estados mecánicos cuánticos de la materia a temperatura cero que tienen una simetría y una brecha de energía finita.
Para derivar los resultados de la manera más invariante, se utilizan métodos de grupo de renormalización (que conducen a clases de equivalencia correspondientes a ciertos puntos fijos). [1] La orden SPT tiene las siguientes propiedades definitorias:
(a) los distintos estados SPT con una simetría dada no se pueden deformar suavemente entre sí sin una transición de fase, si la deformación conserva la simetría .
(b) sin embargo, todos se pueden deformar suavemente en el mismo estado de producto trivial sin una transición de fase, si la simetría se rompe durante la deformación .
La definición anterior funciona tanto para sistemas bosónicos como para sistemas fermiónicos, lo que conduce a las nociones de orden SPT bosónico y orden SPT fermiónico.
El uso de la noción de entrelazamiento cuántico , podemos decir que los estados del SPT son de corto alcance enreda estados con una simetría (por el contrario, porque a largo plazo enredo ver orden topológico , que no está relacionado con la famosa paradoja EPR ). Dado que los estados entrelazados de corto alcance tienen sólo órdenes topológicos triviales , también podemos referirnos al orden SPT como orden "Trivial" protegido por simetría.
Propiedades caracteristicas
- La teoría del límite efectivo de un estado SPT no trivial siempre tiene una anomalía de calibre pura o una anomalía de gravedad de calibre mixta para el grupo de simetría. [3] Como resultado, el límite de un estado SPT no tiene huecos o está degenerado, independientemente de cómo cortemos la muestra para formar el límite. Un límite no degenerado con huecos es imposible para un estado SPT no trivial. Si el límite es un estado degenerado con huecos, la degeneración puede deberse a una ruptura espontánea de la simetría y / o al orden topológico (intrínseco).
- Los defectos de monodromía en estados SPT 2 + 1D no triviales llevan estadísticas no triviales [4] y números cuánticos fraccionarios [5] del grupo de simetría. Los defectos de monodromía se crean torciendo la condición de contorno a lo largo de un corte mediante una transformación de simetría. Los extremos de tal corte son los defectos de monodromía. Por ejemplo, los estados 2 + 1D bosónicos Z n SPT se clasifican mediante un Z n entero m . Se puede demostrar que n defectos de monodromía elemental idénticos en un estado Z n SPT etiquetado por m llevarán un número cuántico total de Z n 2m que no es un múltiplo de n .
- 2 + 1D bosónicos U (1) Los estados SPT tienen una conductancia Hall que se cuantifica como un número entero par. [6] [7] 2 + 1D bosónico SO (3) Los estados SPT tienen una conductancia Hall de espín cuantificada. [8]
Relación entre el orden SPT y el orden topológico (intrínseco)
Los estados SPT están entrelazados de corto alcance mientras que los estados ordenados topológicamente están entrelazados de largo alcance. Tanto el orden topológico intrínseco como el orden SPT a veces pueden tener excitaciones de frontera sin espacios protegidos . La diferencia es sutil: las excitaciones de los límites sin espacios en orden topológico intrínseco pueden ser robustas contra cualquier perturbación local, mientras que las excitaciones de los límites sin espacios en el orden SPT son robustas solo contra las perturbaciones locales que no rompen la simetría . Por lo tanto, las excitaciones de límite sin espacios en orden topológico intrínseco están protegidas topológicamente, mientras que las excitaciones de límite sin espacios en el orden SPT están protegidas por simetría . [9]
También sabemos que un orden topológico intrínseco tiene carga fraccional emergente , estadística fraccionaria emergente y teoría de gauge emergente . En contraste, una orden SPT no tiene carga fraccional emergente / estadísticas fraccionarias para excitaciones de energía finita, ni teoría de gauge emergente (debido a su entrelazamiento de corto alcance). Tenga en cuenta que los defectos de monodromía discutidos anteriormente no son excitaciones de energía finita en el espectro del hamiltoniano, sino defectos creados al modificar el hamiltoniano.
Ejemplos de
El primer ejemplo de orden SPT es la fase Haldane de la cadena de espín entero impar. [10] [11] [12] [13] Es una fase SPT protegida por la simetría de rotación de espín SO (3) . [1] (Tenga en cuenta que las fases de Haldane de la cadena de espín entero par no tienen orden SPT). Un ejemplo más conocido de orden SPT es el aislante topológico de fermiones que no interactúan, una fase SPT protegida por U (1) y simetría de inversión de tiempo .
Por otro lado, los estados de Hall cuánticos fraccionarios no son estados SPT. Son estados con orden topológico (intrínseco) y entrelazamientos de largo alcance.
Teoría de cohomología grupal para fases SPT
Usando la noción de entrelazamiento cuántico , se obtiene la siguiente imagen general de fases con huecos a temperatura cero. Todas las fases de temperatura cero con huecos se pueden dividir en dos clases: fases entrelazadas de largo alcance ( es decir, fases con orden topológico intrínseco ) y fases entrelazadas de corto alcance ( es decir, fases sin orden topológico intrínseco ). Todas las fases entrelazadas de corto alcance se pueden dividir en tres clases: fases de ruptura de simetría, fases de SPT y su mezcla (el orden de ruptura de simetría y el orden de SPT pueden aparecer juntos).
Es bien sabido que la teoría de grupos describe los órdenes que rompen la simetría . Para las fases bosónicas SPT con límite anómalo de calibre puro, se demostró que están clasificadas por la teoría de cohomología de grupo : [14] [15] esos estados (d + 1) D SPT con simetría G están etiquetados por los elementos de la clase de cohomología de grupo. Para otros estados (d + 1) D SPT [16] [17] [18] [19] con límite anómalo de gravedad de ancho mixto, se pueden describir por, [20] donde es el grupo abeliano formado por (d + 1) D fases topológicamente ordenadas que no tienen excitaciones topológicas no triviales (denominadas fases iTO).
A partir de los resultados anteriores, se predicen muchos estados cuánticos nuevos de la materia, incluidos los aislantes topológicos bosónicos (los estados SPT protegidos por U (1) y la simetría de inversión de tiempo) y los superconductores topológicos bosónicos (los estados de SPT protegidos por simetría de inversión de tiempo), así como muchos otros nuevos estados SPT protegidos por otras simetrías.
Una lista de estados SPT bosónicos de la cohomología de grupo ( = grupo de simetría de inversión de tiempo)
grupo de simetría | 1 + 1D | 2 + 1D | 3 + 1D | 4 + 1D | comentario |
---|---|---|---|---|---|
Fases iTO sin simetría: | |||||
aislante topológico bosónico | |||||
superconductor topológico bosónico | |||||
2 + 1D: efecto Hall cuántico | |||||
1 + 1D: cadena de espín de número entero impar; 2 + 1D: efecto Hall de giro | |||||
Las fases antes de "+" provienen de . Las fases después de "+" provienen de. Al igual que la teoría de grupos puede darnos 230 estructuras cristalinas en 3 + 1D, la teoría de cohomología de grupos puede darnos varias fases SPT en cualquier dimensión con cualquier grupo de simetría en el sitio.
Por otro lado, los órdenes SPT fermiónicos se describen mediante la teoría de supercohomología de grupo . [21] Por lo tanto, la teoría de (super) cohomología de grupo nos permite construir muchos órdenes SPT incluso para sistemas que interactúan, que incluyen aislante / superconductor topológico que interactúa.
Una clasificación completa de fases cuánticas con huecos 1D (con interacciones)
Usando las nociones de entrelazamiento cuántico y orden SPT, se puede obtener una clasificación completa de todas las fases cuánticas con huecos 1D.
En primer lugar, se muestra que no existe un orden topológico (intrínseco) en 1D ( es decir, todos los estados con espacios en 1D están entrelazados de corto alcance). [22] Por lo tanto, si los hamiltonianos no tienen simetría, todos sus estados cuánticos con huecos 1D pertenecen a una fase: la fase de los estados de productos triviales. Por otro lado, si los hamiltonianos tienen una simetría, sus estados cuánticos con huecos 1D son fases de ruptura de simetría, fases SPT y su mezcla.
Tal comprensión permite clasificar todas las fases cuánticas con espacios 1D: [14] [23] [24] [25] [26] Todas las fases con espacios 1D se clasifican mediante los siguientes tres objetos matemáticos: , dónde es el grupo de simetría del hamiltoniano, el grupo de simetría de los estados fundamentales, y la segunda clase de cohomología grupal de. (Tenga en cuenta que clasifica las representaciones proyectivas de .) Si no hay ruptura de simetría ( es decir ), las fases 1D con huecos se clasifican por las representaciones proyectivas del grupo de simetría .
Ver también
- Modelo AKLT
- Aislante topológico
- Efecto Hall de giro cuántico
- Orden topológico
Referencias
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- ^ También se debe tener en cuenta la sutileza semántica del nombre SPT: "simetría protegida" no significa que la estabilidad del estado se conserva "debido a la simetría", sino que simplemente significa que la simetría se mantiene mediante las interacciones correspondientes a el proceso.
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