grupo simpléctico

En matemáticas , el nombre grupo simpléctico puede referirse a dos colecciones diferentes, pero estrechamente relacionadas, de grupos matemáticos , denominados $Sp(2 n, F)$ y $Sp(n)$ para el entero positivo n y el campo F (normalmente C o R ). Este último se denomina grupo simpléctico compacto y también se denota por . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que generalmente difieren en factores de $2$ . La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de los más comunes $\mathrm {USp} (n)$ matrices que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples , el álgebra de Lie del grupo complejo $Sp(2 n, C)$ se denota $C n$ , y $Sp(n)$ es la forma real compacta de $Sp(2 n, C)$ . Tenga en cuenta que cuando nos referimos al grupo simpléctico (compacto) se da a entender que estamos hablando de la colección de grupos simplécticos (compactos), indexados por su dimensión $n$ .

El nombre "grupo simpléctico" se debe a Hermann Weyl como reemplazo de los nombres confusos anteriores ( línea ) grupo complejo y grupo lineal abeliano , y es el análogo griego de "complejo".

El grupo metapléctico es una doble cobertura del grupo simpléctico sobre R ; tiene análogos sobre otros campos locales , campos finitos y anillos de adele .

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial de $2 n$ dimensiones sobre el campo $F$ que conserva una forma bilineal sesgada simétrica no degenerada . Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial simpléctico , y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto $V$ se denota como $Sp($ $V$ $)$ . Al fijar una base para $V$ , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de $2$ $n$ $\times 2$ $n$ , con entradas en $F$ , bajo la operación de multiplicación de matrices . Este grupo se denota como $Sp(2 n, F)$ o $Sp(n, F)$ . Si la forma bilineal está representada por la matriz asimétrica no singular Ω, entonces

donde I _n es la matriz identidad. En este caso, $Sp(2 n, F)$ se puede expresar como aquellas matrices de bloques , donde , satisfaciendo las tres ecuaciones: $({\begin{matriz pequeña}A&B\\C&D\end{matriz pequeña}})$ $A,B,C,D\en M_{n\times n}(F)$

Dado que todas las matrices simplécticas tienen el determinante $1$ , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial $SL(2 n, F)$ . Cuando $n = 1$ , la condición simpléctica en una matriz se cumple si y solo si el determinante es uno, de modo que $Sp(2, F) = SL(2, F)$ . Para $n > 1$ , existen condiciones adicionales, es decir, $Sp(2 n, F)$ es entonces un subgrupo propio de $SL(2 n, F)$ .