En matemáticas, las funciones elípticas de Abel son un tipo especial de funciones elípticas , que fueron establecidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel . Publicó su artículo "Recherches sur les Fonctions elliptiques" en Crelle's Journal en 1827. [1] Fue el primer trabajo sobre funciones elípticas que se publicó. [2] El trabajo de Abel sobre funciones elípticas también influyó en los estudios de Jacobi sobre funciones elípticas, cuyo libro publicado en 1829 " Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum " se convirtió en el trabajo estándar sobre funciones elípticas. [3]
Historia
El punto de partida de Abel fueron las integrales elípticas que habían sido estudiadas con gran detalle por Adrien-Marie Legendre . Inició sus investigaciones en 1823 cuando aún era estudiante. En particular, los veía como funciones complejas que en ese momento aún estaban en su infancia. En los años siguientes, Abel continuó explorando estas funciones. También trató de generalizarlos a funciones con aún más períodos, pero no parecía tener prisa por publicar sus resultados.
Pero a principios del año 1827 escribió juntos su primera y larga presentación Recherches sur les fonctions elliptiques de sus descubrimientos. [4] A finales del mismo año conoció a Carl Gustav Jacobi y sus trabajos sobre nuevas transformaciones de integrales elípticas. Abel termina entonces una segunda parte de su artículo sobre funciones elípticas y muestra en un apéndice cómo se seguirían fácilmente los resultados de la transformación de Jacobi. [5] [3] Cuando ve la próxima publicación de Jacobi donde hace uso de funciones elípticas para probar sus resultados sin referirse a Abel, el matemático noruego se encuentra en una lucha con Jacobi por la prioridad. Termina varios artículos nuevos sobre temas relacionados, ahora por primera vez fechándolos, pero muere menos de un año después en 1829. [6] Mientras tanto, Jacobi completa su gran obra Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum sobre funciones elípticas que parece igual año como un libro. Terminó definiendo cuál sería la forma estándar de funciones elípticas en los años siguientes. [6]
Derivación de integrales elípticas
Considere la integral elíptica del primer tipo en la siguiente forma simétrica: [7]
- con .
es una función creciente impar en el intervalo con el máximo: [2]
Eso significa es invertible: existe una función tal que , que está bien definido en el intervalo .
Como la función depende de los parámetros y lo que se puede expresar escribiendo .
Desde es una función extraña también es una función extraña que significa .
Tomando la derivada con respecto a uno obtiene:
que es una función par, es decir, .
Abel presentó las nuevas funciones
- .
De ese modo sostiene que [2] .
, y son las funciones conocidas como funciones elípticas de Abel. Se pueden continuar utilizando los teoremas de la suma.
Por ejemplo agregando uno obtiene:
- .
Extensión compleja
se puede continuar en números puramente imaginarios introduciendo la sustitución . Uno consigue, dónde
- .
es una función creciente en el intervalo con el máximo [8]
- .
Eso significa , y se conocen a lo largo de los ejes real e imaginario. Utilizando de nuevo los teoremas de la suma, pueden extenderse al plano complejo.
Por ejemplo para cede a
- .
Doble periodicidad y polos
La periodicidad de , y se puede demostrar aplicando los teoremas de la suma varias veces. Las tres funciones son doblemente periódicas, lo que significa que tienen dos-períodos lineales independientes en el plano complejo: [9]
- .
Los polos de las funciones , y están en [10]
- por .
Relación con las funciones elípticas de Jacobi
Las funciones elípticas de Abel se pueden expresar mediante las funciones elípticas de Jacobi , que no dependen de los parámetros y pero en un módulo :
- ,
dónde .
Teoremas de suma
Para las funciones , y los siguientes teoremas de la suma son válidos: [8]
- ,
dónde .
Estos se derivan de los teoremas de la adición para integrales elípticas que Euler ya había probado. [8]
Referencias
- ^ Gray, Jeremy, Real y el complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 73, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ a b c Gray, Jeremy, Real y el complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, págs.74 y siguientes, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ a b Gray, Jeremy, Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (en alemán), Cham, pp.84f, ISBN 978-3-319-23715-2
- ↑ NH Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques , Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2 , 101-181 (1827).
- ↑ NH Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques , Journal für die reine und angewandte Mathematik, 3 , 160-190 (1828).
- ^ a b Gray, Jeremy (2015), Real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 85, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Abel, Niels Henrik; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004). El legado de Niels Henrik Abel: el bicentenario de Abel, Oslo, 2002 . Berlín: Springer. pag. 106. ISBN 3-540-43826-2. OCLC 53919054 .
- ^ a b c Houzel, cristiano; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002 (en alemán), Berlín: Springer, p. 107, ISBN 3-540-43826-2
- ^ Houzel, cristiano; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002 (en alemán), Berlín: Springer, p. 108, ISBN 3-540-43826-2
- ^ Houzel, cristiano; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002 (en alemán), Berlín: Springer, p. 109, ISBN 3-540-43826-2
Literatura
- Niels Henrik Abel, Recherches sur le fonctions elliptiques , primera y segunda parte en Sophus Lie y Ludwig Sylow (eds.) Obras completas , Oslo (1881).
- Christian Houzel, El trabajo de Niels Henrik Abel , en OA Laudal y R. Piene, El legado de Niels Henrik Abel - El bicentenario de Abel, Oslo 2002 , Springer Verlag, Berlín (2004). ISBN 3-540-43826-2 .