El análisis complejo , tradicionalmente conocido como teoría de funciones de una variable compleja , es la rama del análisis matemático que investiga las funciones de números complejos . Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica , la teoría de números , la combinatoria analítica , las matemáticas aplicadas ; así como en física , incluidas las ramas de la hidrodinámica , la termodinámica y, en particular, la mecánica cuántica . Por extensión, el uso de análisis complejos también tiene aplicaciones en campos de la ingeniería comoingeniería nuclear , aeroespacial , mecánica y eléctrica . [ cita requerida ]
Como una función diferenciable de una variable compleja es igual a su serie de Taylor (es decir, es analítica ), el análisis complejo se ocupa particularmente de las funciones analíticas de una variable compleja (es decir, funciones holomórficas ).
Historia
El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas, con raíces en el siglo XVIII y poco antes. Los matemáticos importantes asociados con los números complejos incluyen a Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Weierstrass y muchos más en el siglo XX. El análisis complejo, en particular la teoría de los mapeos conformes , tiene muchas aplicaciones físicas y también se utiliza en toda la teoría analítica de números . En los tiempos modernos, se ha vuelto muy popular a través de un nuevo impulso de la dinámica compleja y las imágenes de fractales producidas por la iteración de funciones holomórficas . Otra aplicación importante del análisis complejo se encuentra en la teoría de cuerdas, que estudia las invariantes conformes en la teoría cuántica de campos .
Funciones complejas
Una función compleja es una función que va desde números complejos hasta números complejos. En otras palabras, es una función que tiene un subconjunto de números complejos como dominio y los números complejos como codominio . Generalmente se supone que las funciones complejas tienen un dominio que contiene un subconjunto abierto no vacío del plano complejo .
Para cualquier función compleja, los valores del dominio y sus imágenes en el rango se puede separar en partes reales e imaginarias :
dónde son todos de valor real.
En otras palabras, una función compleja puede descomponerse en
- y
es decir, en dos funciones de valor real (, ) de dos variables reales (, ).
De manera similar, cualquier función f de valor complejo en un conjunto arbitrario X puede considerarse como un par ordenado de dos funciones de valor real : (Re f , Im f ) o, alternativamente, como una función de valor vectorial de X a
Algunas propiedades de las funciones con valores complejos (como la continuidad ) no son más que las propiedades correspondientes de las funciones con valores vectoriales de dos variables reales. Otros conceptos de análisis complejo, como la diferenciabilidad, son generalizaciones directas de conceptos similares para funciones reales, pero pueden tener propiedades muy diferentes. En particular, cada función compleja diferenciable es analítica (vea la siguiente sección), y dos funciones diferenciables que son iguales en una vecindad de un punto son iguales en la intersección de su dominio (si los dominios están conectados ). Esta última propiedad es la base del principio de continuación analítica que permite extender cada función analítica real de una manera única para obtener una función analítica compleja cuyo dominio es todo el plano complejo con un número finito de arcos de curva eliminados. Muchas funciones complejas básicas y especiales se definen de esta manera, incluida la función exponencial compleja , las funciones logarítmicas complejas y las funciones trigonométricas .
Funciones holomorfas
Funciones complejas que son diferenciables en cada punto de un subconjunto abierto del plano complejo se dice que son holomórficos en . En el contexto del análisis complejo, la derivada de a se define como
Superficialmente, esta definición es formalmente análoga a la de la derivada de una función real. Sin embargo, las derivadas complejas y las funciones diferenciables se comportan de formas significativamente diferentes en comparación con sus contrapartes reales. En particular, para que exista este límite, el valor del cociente de diferencias debe aproximarse al mismo número complejo, independientemente de la manera en que nos acerquemosen el plano complejo. En consecuencia, la diferenciación compleja tiene implicaciones mucho más fuertes que la diferenciabilidad real. Por ejemplo, las funciones holomórficas son infinitamente diferenciables , mientras que la existencia de la n- ésima derivada no implica necesariamente la existencia de la ( n + 1) -ésima derivada para funciones reales. Además, todas las funciones holomórficas satisfacen la condición más fuerte de analiticidad , lo que significa que la función, en cada punto de su dominio, está dada localmente por una serie de potencias convergentes. En esencia, esto significa que las funciones holomórficas en puede aproximarse arbitrariamente bien por polinomios en alguna vecindad de cada punto en . Esto contrasta fuertemente con las funciones reales diferenciables; hay funciones reales infinitamente diferenciables que no son analíticas en ninguna parte ; ver Función suave no analítica § Una función suave que no es analítica real en ninguna parte .
La mayoría de las funciones elementales, incluida la función exponencial , las funciones trigonométricas y todas las funciones polinomiales , se extendieron adecuadamente a argumentos complejos como funciones., son holomórficas en todo el plano complejo, lo que las convierte en funciones completas , mientras que las funciones racionales, Donde p y q son polinomios, son holomorphic en dominios que excluyen puntos en los que q es cero. Las funciones que son holomórficas en todas partes, excepto en un conjunto de puntos aislados, se conocen como funciones meromórficas . Por otro lado, las funciones, , y no son holomórficos en ningún lugar del plano complejo, como se puede demostrar por su incapacidad para satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann (ver más abajo).
Una propiedad importante de las funciones holomórficas es la relación entre las derivadas parciales de sus componentes real e imaginario, conocidas como condiciones de Cauchy-Riemann . Si, definido por , donde, es holomórfico en una región , a continuación, debe aguantar para todos . Aquí, el operador diferencial Se define como . En términos de las partes real e imaginaria de la función, u y v , esto es equivalente al par de ecuaciones y , donde los subíndices indican diferenciación parcial. Sin embargo, las condiciones de Cauchy-Riemann no caracterizan funciones holomorfas, sin condiciones de continuidad adicionales (ver teorema de Looman-Menchoff ).
Las funciones holomorfas exhiben algunas características notables. Por ejemplo, el teorema de Picard afirma que el rango de una función completa solo puede tomar tres formas posibles:, , o para algunos . En otras palabras, si dos números complejos distintos y no están en el rango de una función completa , a continuación,es una función constante. Además, una función holomórfica en un conjunto abierto conectado está determinada por su restricción a cualquier subconjunto abierto no vacío.
Resultados principales
Una de las herramientas centrales en el análisis complejo es la integral de línea . La integral de línea alrededor de una trayectoria cerrada de una función que es holomórfica en todas partes dentro del área delimitada por la trayectoria cerrada es siempre cero, como lo establece el teorema de la integral de Cauchy . Los valores de dicha función holomórfica dentro de un disco se pueden calcular mediante una ruta integral en el límite del disco (como se muestra en la fórmula integral de Cauchy ). Las integrales de trayectoria en el plano complejo se utilizan a menudo para determinar integrales reales complicadas, y aquí es aplicable la teoría de los residuos, entre otras (ver métodos de integración de contornos ). Un "polo" (o singularidad aislada ) de una función es un punto donde el valor de la función se vuelve ilimitado o "explota". Si una función tiene tal polo, entonces se puede calcular el residuo de la función allí, que se puede usar para calcular integrales de trayectoria que involucran a la función; este es el contenido del teorema del residuo poderoso . El notable comportamiento de las funciones holomórficas cerca de singularidades esenciales se describe en el teorema de Picard . Las funciones que tienen solo polos pero no singularidades esenciales se denominan meromorfas . Las series de Laurent son el equivalente de valores complejos a las series de Taylor , pero pueden usarse para estudiar el comportamiento de funciones cercanas a singularidades a través de sumas infinitas de funciones mejor entendidas, como polinomios.
Una función acotada que es holomórfica en todo el plano complejo debe ser constante; este es el teorema de Liouville . Puede usarse para proporcionar una prueba natural y breve del teorema fundamental del álgebra que establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado .
Si una función es holomórfica en un dominio conectado , sus valores están completamente determinados por sus valores en cualquier subdominio más pequeño. Se dice que la función en el dominio más grande continúa analíticamente a partir de sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite la extensión de la definición de funciones, como la función zeta de Riemann , que inicialmente se definen en términos de sumas infinitas que convergen solo en dominios limitados a casi todo el plano complejo. A veces, como en el caso del logaritmo natural , es imposible continuar analíticamente una función holomórfica a un dominio no simplemente conectado en el plano complejo, pero es posible extenderlo a una función holomórfica en una superficie estrechamente relacionada conocida como Superficie de Riemann .
Todo esto se refiere a un análisis complejo en una variable. También existe una teoría muy rica del análisis complejo en más de una dimensión compleja en la que las propiedades analíticas, como la expansión de la serie de potencias, se trasladan, mientras que la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones holomorfas en una dimensión compleja (como la conformalidad ) no se trasladan. . El teorema de mapeo de Riemann sobre la relación conforme de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla dramáticamente en dimensiones superiores.
Una aplicación importante de ciertos espacios complejos se encuentra en la mecánica cuántica como funciones de onda .
Ver también
- Continuación analítica
- Cálculo vectorial
- Dinámica compleja
- Lista de temas de análisis complejos
- Teorema de la monodromía
- Análisis real
- Teorema de Runge
- Varias variables complejas
Referencias
General
- Ahlfors, L. , Análisis complejo, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
- Stephen D. Fisher , Variables complejas, 2 ed. (Dover, 1999).
- Carathéodory, C. , Teoría de las funciones de una variable compleja (Chelsea, Nueva York). [2 volúmenes.]
- Henrici, P. , Análisis complejo computacional y aplicado (Wiley). [Tres volúmenes: 1974, 1977, 1986.]
- Kreyszig, E. , Matemáticas de ingeniería avanzada, 10 ed. , Ch. 13-18 (Wiley, 2011).
- Markushevich, AI, Teoría de las funciones de una variable compleja (Prentice-Hall, 1965). [Tres volúmenes.]
- Marsden y Hoffman, Análisis complejo básico. 3 ed. (Freeman, 1999).
- Needham, T. , Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
- Rudin, W. , Análisis real y complejo, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
- Scheidemann, V., Introducción al análisis complejo en varias variables (Birkhauser, 2005)
- Shaw, WT, Análisis complejo con Mathematica (Cambridge, 2006).
- Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables - con una introducción a Conformal Mapping y sus aplicaciones (McGraw-Hill, 1964).
- Stein y Shakarchi, Análisis complejo (Princeton, 2003).
- Ablowitz & Fokas , Variables complejas: Introducción y aplicaciones (Cambridge, 2003).
enlaces externos
- Página de análisis complejo MathWorld de Wolfram Research