En matemáticas , un grupo abeliano 2 es un análogo dimensional superior de un grupo abeliano , en el sentido de álgebra superior, [1] que fueron introducidos originalmente por Alexander Grothendieck mientras estudiaba las estructuras abstractas que rodean las variedades abelianas y los grupos Picard . [2] Más concretamente, están dados por grupoides. que tienen un bifunctor que actúa formalmente como la adición de un grupo abeliano. A saber, el bifunctortiene una noción de conmutatividad, asociatividad y una estructura de identidad. Aunque esto parece una estructura bastante elevada y abstracta, hay varios ejemplos (muy concretos) de 2 grupos abelianos. De hecho, algunos de los cuales proporcionan prototipos para ejemplos más complejos de estructuras algebraicas superiores, como los grupos n abelianos .
Definición
Un grupo 2 abeliano es un grupoide con un bifunctor y transformaciones naturales
que satisfacen una serie de axiomas que garantizan que estas transformaciones se comporten de manera similar a la conmutatividad () y asociatividad para un grupo abeliano. Uno de los ejemplos motivadores de tal categoría proviene de la categoría Picard de paquetes de líneas en un esquema (ver más abajo).
Ejemplos de
Categoría Picard
Por un esquema o variedad , hay un grupo abeliano de 2 cuyos objetos son paquetes de líneas y los morfismos están dados por isomorfismos de haces de líneas. Aviso sobre un paquete de líneas determinado
dado que los únicos automorfismos de un paquete de líneas están dados por una función que no desaparece en . La estructura aditiva viene dado por el producto tensorial en los paquetes de línea. Esto deja más claro por qué debería haber transformaciones naturales en lugar de igualdad de functores. Por ejemplo, solo tenemos un isomorfismo de paquetes de líneas
pero no igualdad directa. Este isomorfismo es independiente de los paquetes de líneas elegidos y son funcionales, por lo que dan la transformación natural
cambiar los componentes. La asociatividad se sigue de manera similar de la asociatividad de los productos tensoriales de los haces de líneas.
Complejos de cadena de dos términos
Otra fuente para las categorías de Picard es de complejos de cadenas de dos términos de grupos abelianos.
que tienen asociada una estructura grupoide canónica. Podemos escribir el conjunto de objetos como el grupo abeliano y el conjunto de flechas como el conjunto . Entonces, el morfismo de origen de una flecha es el mapa de proyección
y el morfismo objetivo es
Tenga en cuenta que esta definición implica el grupo de automorfismo de cualquier objeto es . Observe que si repetimos esta construcción para haces de grupos abelianos en un sitio (o espacio topológico), obtenemos un haz de 2 grupos abelianos. Se podría conjeturar si esto se puede utilizar para construir todas esas categorías, pero este no es el caso. De hecho, esta construcción debe generalizarse a los espectros para dar una generalización precisa [3] pág . 88 .
Ejemplo de Abelian 2-group en geometría algebraica
Un ejemplo es el complejo Cotangente para un esquema de intersección completo local que viene dado por el complejo de dos términos
para una incrustación . Hay una interpretación categórica directa de este grupo 2 de Abeliano a partir de la teoría de la deformación utilizando la categoría Exalcomm . [4]
Tenga en cuenta que además de utilizar un complejo de cadena de 2 términos, podría considerar un complejo de cadena y construir un grupo n abeliano (o grupo infinito).
Abeliano 2-grupo de morfismos
Para un par de 2 grupos abelianos hay un grupo 2 abeliano asociado de morfismos
cuyos objetos están dados por functores entre estas dos categorías, y las flechas están dadas por transformaciones naturales. Además, el bifunctor en induce una estructura bifunctora en este grupoide, dándole una estructura de 2 grupos abelianos.
Clasificación de 2 grupos abelianos
Para clasificar 2 grupos abelianos, las categorías estrictas de picard que utilizan complejos de cadena de dos términos no son suficientes. Un enfoque es la teoría de la homotopía estable que utiliza espectros que solo tienen dos grupos de homotopía no triviales. Al estudiar una categoría arbitraria de Picard, queda claro que se utilizan datos adicionales para clasificar la estructura de la categoría, que viene dada por el invariante de Postnikov.
Invariante de Postnikov
Para un grupo abeliano de 2 y un objeto fijo los isomorfismos de los functores y dado por la flecha de conmutatividad
da un elemento del grupo de automorfismo que cuadrados a , por lo tanto, está contenido en algunos . A veces esto se escribe sugestivamente como. Podemos llamar a este elemento y este invariante induce un morfismo de las clases de isomorfismo de objetos en , denotado , a , es decir, da un morfismo
que corresponde al invariante de Postnikov . En particular, cada categoría de Picard dada como un complejo de cadena de dos términos tieneporque corresponden bajo la correspondencia de Dold-Kan a grupos abelianos simpliciales con realizaciones topológicas como el producto de los espacios de Eilenberg-Maclane
Por ejemplo, si tenemos una categoría Picard con y , no hay un complejo de cadena de grupos abelianos que den estos grupos de homología, ya que solo puede ser dado por una proyección
En cambio, esta categoría de Picard puede entenderse como una realización categórica del espectro truncado del espectro de la esfera donde los únicos dos grupos de homotopía no triviales del espectro están en grados y .
Ver también
Referencias
- ^ Jibladze, Mamuka; Pirashvili, Teimuraz (28 de junio de 2011). "Cohomología con coeficientes en pilas de categorías Picard". arXiv : 1101.2918 [ math.AT ].
- ^ Grothendieck, Alexandrel. "Exponer XVIII" (PDF) . SGA 4 . págs. 29-30.
- ^ Hopkins, MJ; Cantante, IM (24 de agosto de 2005). "Funciones cuadráticas en geometría, topología y teoría M". J.diff.geom . 70 (3): 329–452. arXiv : matemáticas / 0211216 . doi : 10.4310 / jdg / 1143642908 . S2CID 119170140 .
- ^ Olsson, Martin. "Teorías de la tangente y la obstrucción" (PDF) . págs. 13-18.
- Tesis de Hoàng Xuân Sính (Categorías Gr)
- Sobre 2 categorías abelianas y 2 functores derivados
- Cohomología con coeficientes en pilas de categorías Picard
- Cohomología con valores en un haz de grupos cruzados sobre un sitio : proporciona técnicas para definir la cohomología del haz con coeficientes en un módulo cruzado o una categoría Picard
- Modelado de tipos 1 estables: exposición de tipos 1 estables que contienen una relación con categorías picard
- Datos de Postnikov estables de Picard 2-categorías