En matemáticas, el complejo cotangente es aproximadamente una linealización universal de un morfismo de objetos geométricos o algebraicos. Los complejos cotangentes fueron originalmente definidos en casos especiales por varios autores. Luc Illusie , Daniel Quillen y M. André idearon de forma independiente una definición que funciona en todos los casos.
Motivación
Suponga que X e Y son variedades algebraicas y que f : X → Y es un morfismo entre ellas. La cotangente complejo de f es una versión más universal de la relativa Kähler diferenciales Ω X / Y . La motivación más básica para tal objeto es la secuencia exacta de diferenciales de Kähler asociados a dos morfismos. Si Z es otra variedad, y si g : Y → Z es otro morfismo, entonces hay una secuencia exacta
En cierto sentido, por lo tanto, las diferencias relativas de Kähler son un funtor exacto correcto . (Literalmente, esto no es cierto, sin embargo, porque la categoría de variedades algebraicas no es una categoría abeliana y, por lo tanto, la exactitud correcta no está definida.) De hecho, antes de la definición del complejo cotangente, había varias definiciones de functores que podría extender la secuencia más a la izquierda, como los functores T i de Lichtenbaum-Schlessinger y los módulos de imperfección . La mayoría de estos fueron motivados por la teoría de la deformación .
Esta secuencia es exacta a la izquierda si el morfismo f es suave. Si Ω admitió un primer funtor derivado , entonces la exactitud de la izquierda implicaría que el homomorfismo de conexión desapareció, y esto ciertamente sería cierto si el primer funtor derivado de f , cualquiera que fuera, desapareciera. Por lo tanto, una especulación razonable es que el primer functor derivado de un morfismo suave desaparece. Además, cuando cualquiera de los functores que extendieron la secuencia de diferenciales de Kähler se aplicó a un morfismo suave, también desaparecieron, lo que sugirió que el complejo cotangente de un morfismo suave podría ser equivalente a los diferenciales de Kähler.
Otra secuencia exacta natural relacionada con los diferenciales de Kähler es la secuencia exacta conormal . Si f es una inmersión cerrada con haz ideal I , entonces hay una secuencia exacta
Ésta es una extensión de la secuencia exacta anterior: hay un nuevo término a la izquierda, el haz conormal de f , y las diferencias relativas Ω X / Y se han desvanecido porque una inmersión cerrada está formalmente desramificada . Si f es la inclusión de una subvariedad suave, entonces esta secuencia es una secuencia corta y exacta. [1] Esto sugiere que el complejo cotangente de la inclusión de una variedad suave es equivalente a la gavilla conormal desplazada por un término.
Trabajos iniciales sobre complejos cotangentes
El complejo cotangente se remonta al menos a SGA 6 VIII 2, donde Pierre Berthelot dio una definición cuando f es un morfismo suavizable , lo que significa que hay un esquema V y morfismos i : X → V y h : V → Y tal que f = hi , i es una inmersión cerrada y h es un morfismo suave. (Por ejemplo, todos los morfismos proyectivos se pueden suavizar, ya que V puede tomarse como un paquete proyectivo sobre Y ). En este caso, define el complejo cotangente de f como un objeto en la categoría derivada de haces coherentes X de la siguiente manera:
- Si J es el ideal de X en V , entonces
- para todos los demás yo ,
- El diferencial es el retroceso a lo largo de i de la inclusión de J en el haz de estructurade V seguida de la derivación universal
- Todos los demás diferenciales son cero.
Berthelot demuestra que esta definición es independiente de la elección de V [2] y que para un morfismo de intersección completo suavizable, este complejo es perfecto. [3] Además, demuestra que si g : Y → Z es otro morfismo de intersección completo suavizable y si se cumple una condición técnica adicional, entonces hay un triángulo exacto
La definición del complejo cotangente.
La definición correcta del complejo cotangente comienza en el entorno homotópico . Quillen y André trabajaron con los anillos conmutativos simpliciales , mientras que Illusie trabajó con los topoi anillados simpliciales . Para simplificar, consideraremos solo el caso de anillos conmutativos simples. Suponga que A y B son anillos simpliciales y que B es un álgebra A. Elige una resoluciónde B por álgebras A libres simpliciales . Aplicar el funtor diferencial de Kähler aproduce un módulo B simple . El complejo total de este objeto simplicial es la cotangente complejo L B / A . El morfismo r induce un morfismo del complejo cotangente a Ω B / A llamado mapa de aumento . En la categoría de homotopía de las álgebras A simpliciales (o de los topoi anillados simpliciales), esta construcción equivale a tomar el funtor derivado por la izquierda del funtor diferencial de Kähler.
Dado un cuadrado conmutativo de la siguiente manera:
hay un morfismo de complejos cotangentes que respeta los mapas de aumento. Este mapa se construye eligiendo una resolución C- álgebra simplicial libre de D , digamos Porque es un objeto libre, la hr compuesta se puede elevar a un morfismoLa aplicación de la funcionalidad de los diferenciales de Kähler a este morfismo da el morfismo requerido de los complejos cotangentes. En particular, dados los homomorfismos esto produce la secuencia
Hay un homomorfismo de conexión,
lo que convierte esta secuencia en un triángulo exacto.
El complejo cotangente también se puede definir en cualquier combinatoria categoría modelo M . Suponer quees un morfismo en M . El complejo cotangente (o ) es un objeto en la categoría de espectros en . Un par de morfismos componibles, y induce un triángulo exacto en la categoría de homotopía,
Propiedades del complejo cotangente
Cambio de base plana
Suponga que B y C son A -álgebras tales quepara todo q > 0 . Luego están los cuasi-isomorfismos [4]
Si C es un álgebra A plana , entonces la condición quedesaparece para q > 0 es automático. La primera fórmula demuestra entonces que la construcción del complejo cotangente es local en la base en la topología plana .
Propiedades de fuga
Deje f : A → B . Entonces: [5] [6]
- Si B es una localización de A , entonces L B / A = 0 .
- Si f es un morfismo étale , entonces L B / A = 0 .
- Si f es un morfismo suave , entonces L B / A es cuasi-isomorfo a Ω B / A . En particular, tiene dimensión proyectiva cero.
- Si f es un morfismo de intersección completo local , entonces L B / A tiene una dimensión proyectiva como máximo uno.
- Si A es Noetheriano, B = A / I , y I es generado por una secuencia regular, entonceses un módulo proyectivo y L B / A es cuasi-isomorfo para
Ejemplos de
Esquemas suaves
Dejar ser suave. Entonces el complejo cotangente es. En el marco de Berthelot, esto queda claro tomando. En general, étale localmente en es un espacio afín de dimensión finita y el morfismo es proyección, por lo que podemos reducir a la situación en la que y Podemos tomar la resolución de para ser el mapa de identidad, y luego está claro que el complejo cotangente es el mismo que los diferenciales de Kähler.
Incrustaciones cerradas en esquemas suaves
Dejar ser una incrustación cerrada de esquemas suaves en . Usando el triángulo exacto correspondiente a los morfismos, podemos determinar el complejo cotangente . Para hacer esto, tenga en cuenta que en el ejemplo anterior, los complejos cotangentes y constan de los diferenciales de Kähler y en el grado cero, respectivamente, y son cero en todos los demás grados. El triángulo exacto implica que es distinto de cero solo en el primer grado, y en ese grado, es el núcleo del mapa Este núcleo es el paquete conormal, y la secuencia exacta es la secuencia conormal exacta, por lo que en el primer grado, es el paquete conormal .
Intersección completa local
De manera más general, un morfismo de intersección completo local con un objetivo suave tiene un complejo cotangente perfecto en amplitud Esto viene dado por el complejo
Por ejemplo, el complejo cotangente del cúbico retorcido en está dado por el complejo
Complejos cotangentes en la teoría de Gromov-Witten
En la teoría de Gromov-Witten, los matemáticos estudian las invariantes geométricas enumerativas de las curvas de n puntas en los espacios. En general, hay pilas algebraicas
que son los espacios modulos de los mapas
del género curvas con pinchazos a un objetivo fijo. Dado que la geometría enumerativa estudia el comportamiento genérico de tales mapas, la teoría de la deformación que controla este tipo de problemas requiere la deformación de la curva., el mapa y el espacio de destino . Afortunadamente, toda esta información de la teoría de la deformación puede ser rastreada por el complejo cotangente. Usando el triángulo distinguido
asociado a la composición de morfismos
el complejo cotangente se puede calcular en muchas situaciones. De hecho, para una variedad compleja, su complejo cotangente está dado por y un suave -curva perforada , esto viene dado por . De la teoría general de categorías trianguladas , el complejo cotangente es cuasi-isomorfo al cono
Ver también
Notas
Referencias
Aplicaciones
- https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for
Generalizaciones
- El complejo cotangente logarítmico
- El complejo cotangente y los espectros de Thom
Referencia
- André, M. (1974), Homologie des Algèbres Commutatives , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 206 , Springer-Verlag
- Berthelot, Pierre ; Alexandre Grothendieck , Luc Illusie , eds. (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de matemáticas 225 ) (en francés), Berlín; Nueva York: Springer-Verlag , xii + 700CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361 , doi : 10.1007 / BF02732123 , ISSN 1618-1913
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( ayuda ) - Harrison, DK (1962), "Álgebras conmutativas y cohomología", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 104 (2): 191-204, doi : 10.2307 / 1993575 , JSTOR 1993575
- Illusie, Luc (2009) [1971], Complexe Cotangent et Déformations I , Lecture Notes in Mathematics 239 (en francés), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05686-7
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