En las matemáticas , un n -grupo , o n -dimensional grupo más alto , es un tipo especial de n -Categoría que generaliza el concepto de grupo de álgebra de dimensiones superiores . Aquí,puede ser cualquier número natural o infinito . La tesis del estudiante de Alexander Grothendieck , Hoàng Xuân Sính, fue un estudio en profundidad de 2 grupos bajo el nombre de 'categoría gr'.
La definición general de -grupo es una cuestión de investigación en curso. Sin embargo, se espera que cada espacio topológico tenga una homotopía-grupo en cada punto, que encapsulará la torre Postnikov del espacio hasta el grupo de homotopía , o toda la torre Postnikov para.
Ejemplos de
Espacios Eilenberg-Maclane
Uno de los principales ejemplos de grupos superiores proviene de los tipos de homotopía de los espacios de Eilenberg-MacLane. ya que son los bloques de construcción fundamentales para la construcción de grupos superiores y tipos de homotopía en general. Por ejemplo, cada grupo se puede convertir en un espacio Eilenberg-Maclane a través de una construcción simplicial, [1] y se comporta de manera funcional. Esta construcción da una equivalencia entre grupos y grupos 1. Tenga en cuenta que algunos autores escriben como , y para un grupo abeliano , está escrito como .
2 grupos
La definición y muchas propiedades de los 2 grupos ya se conocen. Los 2 grupos se pueden describir utilizando módulos cruzados y sus espacios de clasificación. Básicamente, estos se dan por un cuádruple dónde son grupos con abeliano
un morfismo de grupo, y una clase de cohomología. Estos grupos pueden codificarse como homotopía.-tipos con y , con la acción proveniente de la acción de en grupos de homotopía superior, y procedente de la torre Postnikov ya que hay una fibración
viniendo de un mapa . Tenga en cuenta que esta idea se puede utilizar para construir otros grupos superiores con datos de grupo que tienen grupos intermedios triviales, donde está ahora la secuencia de fibración
viniendo de un mapa cuya clase de homotopía es un elemento de .
3 grupos
Otra clase de ejemplos interesante y accesible que requiere métodos teóricos de homotopía, no accesibles a los grupos estrictos, proviene de observar los 3 tipos de grupos de homotopía. [2] Esencial, estos se dan por un triple de gruposcon solo el primer grupo no abeliano, y algunos datos teóricos de homotopía adicionales de la torre Postnikov. Si tomamos este grupo 3 como un tipo 3 de homotopía, la existencia de coberturas universales nos da un tipo de homotopía que encaja en una secuencia de fibración
dando una homotopia escribir con trivial en el que actúa. Estos pueden entenderse explícitamente utilizando el modelo anterior de-grupos, desplazados hacia arriba por grado (llamado delooping). Explícitamente, encaja en una torre postnikov con fibración Serre asociada
dando donde el -manojo viene de un mapa , dando una clase de cohomología en . Luego, se puede reconstruir usando un cociente de homotopía .
n-grupos
La construcción anterior da la idea general de cómo considerar los grupos superiores en general. Para un grupo n con grupos siendo el último grupo abeliano, podemos considerar el tipo de homotopía asociado y primero considere la cubierta universal . Entonces, este es un espacio con trivial, lo que facilita la construcción del resto del tipo de homotopía utilizando la torre postnikov. Entonces, el cociente de homotopía da una reconstrucción de , mostrando los datos de un -grupo es un grupo superior, o espacio simple , con trivial tal que un grupo actúa sobre la homotopía teóricamente. Esta observación se refleja en el hecho de que los tipos de homotopía no son realizados por grupos simpliciales , sino por grupos simpliciales [3] pg 295 ya que la estructura grupoide modela el cociente de homotopía.
Pasando por la construcción de un grupo de 4 es instructivo porque da la idea general de cómo construir los grupos en general. Por simplicidad, supongamos es trivial, por lo que los grupos no triviales son . Esto le da una torre postnikov
donde el primer mapa no trivial es una fibración con fibra . Una vez más, esto se clasifica por una clase de cohomología en. Ahora, para construir de , hay una fibración asociada
dado por una clase de homotopía . En principio [4] este grupo de cohomología debería ser computable utilizando la fibración anterior. con la secuencia espectral de Serre con los coeficientes correctos, a saber . Haciendo esto de forma recursiva, digamos por un-grupo, requeriría varios cálculos de secuencia espectral, en el peor de los casos muchos cálculos de secuencia espectral para un -grupo.
n-grupos de la cohomología de la gavilla
Para una variedad compleja con tapa universal , y un fajo de grupos abelianos en , para cada existen [5] homomorfismos canónicos
dando una técnica para relacionar n-grupos construidos a partir de una variedad compleja y cohomología de gavilla en . Esto es particularmente aplicable para toros complejos .
Ver también
Referencias
- ^ "En espacios de Eilenberg-Maclane" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 28 de octubre de 2020.
- ^ Conduché, Daniel (1 de diciembre de 1984). "Módulos croisés généralisés de longueur 2" . Revista de álgebra pura y aplicada . 34 (2): 155-178. doi : 10.1016 / 0022-4049 (84) 90034-3 . ISSN 0022-4049 .
- ^ Asistentes, Paul Gregory. (2009). Teoría de la homotopía simple . Jardine, JF, 1951-. Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-0346-0189-4. OCLC 534951159 .
- ^ "Cohomología integral de torres Postnikov finitas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 25 de agosto de 2020.
- ^ Birkenhake, Christina (2004). Variedades Abelianas complejas . Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 573–574. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558 .
- Hoàng Xuân Sính , Gr-catégories , tesis doctoral, (1973)
- John C. Baez y Aaron D. Lauda, Álgebra de dimensiones superiores V: 2 grupos , Teoría y aplicaciones de las categorías 12 (2004), 423–491.
- David Michael Roberts y Urs Schreiber, The inner automorphism 3-group of a estricto 2-group , Journal of Homotopy and Related Structures, vol. 3 (1) (2008), págs. 193–245.
- Clasificación de 3 grupos débiles
- Pilas y la teoría de la homotopía de las poleas simpliciales
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Cohomología de grupos superiores sobre un sitio
Tenga en cuenta que esto es (ligeramente) distinto de la sección anterior, porque se trata de tomar la cohomología en un espacio con valores en un grupo superior , dando grupos de cohomología superior . Si estamos considerando como tipo de homotopía y asumiendo la hipótesis de homotopía, estos son los mismos grupos de cohomología.
- Cohomología con coeficientes en pilas
- Cohomología con valores en un haz de grupos cruzados sobre un sitio