En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, un ∞-grupoide es un modelo homotópico abstracto para espacios topológicos. Un modelo usa complejos Kan que son objetos fibrosos en la categoría de conjuntos simpliciales (con la estructura del modelo estándar ). [1] Es una generalización de categoría ∞ de un grupoide , una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo.
La hipótesis de la homotopía establece que los ∞-grupoides son espacios. [2] : 2-3 [3]
Grupóides globulares
Alexander Grothendieck sugirió en Pursuing Stacks [2] : 3-4, 201 que debería haber un modelo extraordinariamente simple de ∞-groupoids usando conjuntos globulares , originalmente llamados complejos hemisféricos. Estos conjuntos se construyen como pretensiones en la categoría globular.. Esto se define como la categoría cuyos objetos son ordinales finitos y los morfismos están dados por
tal que las relaciones globulares se mantengan
Estos codifican el hecho de que -los morfismos no deberían poder ver -morfismos. Al escribir estos como un conjunto globular, los mapas de origen y destino se escriben como
También podemos considerar objetos globulares en una categoría. como functores
Originalmente, existía la esperanza de que un modelo tan estricto fuera suficiente para la teoría de la homotopía, pero hay evidencia que sugiere lo contrario. Resulta para su homotopía asociada -tipo nunca puede modelarse como un grupoide globular estricto para . [2] : 445 [4] Esto se debe a que los grupos ∞ estrictos solo modelan espacios con un producto Whitehead trivial . [5]
Ejemplos de
∞-grupoide fundamental
Dado un espacio topológico debe haber un ∞-grupoide fundamental asociado donde los objetos son puntos 1-morfismos se representan como trayectorias, los 2-morfismos son homotopías de trayectorias, los 3-morfismos son homotopías de homotopías, etc. A partir de este groupoid infinito podemos encontrar un-grupoide llamado fundamental -grupoide cuyo tipo de homotopía es el de .
Tenga en cuenta que tomando el ∞-grupoide fundamental de un espacio tal que es equivalente al fundamental n-grupoide . Este espacio se puede encontrar utilizando la torre Whitehead .
Grupóides globulares abelianos
Un caso útil de grupoides globulares proviene de un complejo de cadena que está limitado arriba, por lo tanto, consideremos un complejo de cadena . [6] Hay un grupoide globular asociado. Intuitivamente, los objetos son los elementos en, los morfismos provienen de a través del mapa complejo de cadenas , y más alto -Los morfismos se pueden encontrar en los mapas complejos de cadenas superiores . Podemos formar un conjunto globular con
y el morfismo de origen es el mapa de proyección
y el morfismo objetivo es la adición del mapa complejo de la cadena junto con el mapa de proyección. Esto forma un grupoide globular que da una amplia clase de ejemplos de grupoides globulares estrictos. Además, debido a que los grupoides estrictos se incrustan dentro de los grupoides débiles, también pueden actuar como grupos débiles.
Aplicaciones
Sistemas locales superiores
Uno de los teoremas básicos sobre los sistemas locales es que pueden describirse de manera equivalente como un funtor del grupoide fundamental a la categoría de grupos abelianos, la categoría de -módulos, o alguna otra categoría abeliana . Es decir, un sistema local equivale a dar un funtor
Generalizar tal definición requiere que consideremos no solo una categoría abeliana, sino también su categoría derivada . Un sistema local superior es entonces un functor fun
con valores en alguna categoría derivada. Esto tiene la ventaja de permitir que los grupos de homotopía superioresactuar sobre el sistema local superior, a partir de una serie de truncamientos. Un ejemplo de juguete para estudiar proviene de los espacios Eilenberg-MacLane , o mirando los términos de la torre Whitehead de un espacio. Idealmente, debería haber alguna forma de recuperar las categorías de functores de sus truncamientos y los mapas cuyas fibras deben ser las categorías de -functores
Otra ventaja de este formalismo es que permite construir formas superiores de -representaciones ácidas mediante el uso del tipo de homotopía etale de un esquema y construir representaciones superiores de este espacio, ya que están dadas por functores
Gerbios superiores
Otra aplicación de ∞-groupoids es dar construcciones de n-gerbes y ∞-gerbes. Sobre un espacio un n-gerbe debería ser un objeto tal que cuando se restringe a un subconjunto lo suficientemente pequeño , está representado por un n-grupoide, y en las superposiciones hay un acuerdo hasta cierta equivalencia débil. Suponiendo que la hipótesis de la homotopía sea correcta, esto equivale a construir un objeto tal que sobre cualquier subconjunto abierto
es un grupo n , o un tipo n de homotopía . Debido a que el nervio de una categoría se puede usar para construir un tipo de homotopía arbitrario, un functor sobre un sitio, p.ej
dará un ejemplo de un gerbe superior si la categoría acostado sobre cualquier punto es una categoría no vacía. Además, se esperaría que esta categoría satisfaga algún tipo de condición de descenso.
Ver también
Referencias
- ^ "Complejo Kan en nLab" .
- ^ a b c Grothendieck. "Perseguir pilas" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) desde el original el 30 de julio de 2020 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
- ^ Maltsiniotis, Georges. "Grothendieck infinity groupoids y otra definición más de categorías infinitas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 3 de septiembre de 2020.
- ^ Simpson, Carlos (9 de octubre de 1998). "Tipos de homotopía de 3-grupoides estrictos". arXiv : matemáticas / 9810059 .
- ^ Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (1981). "La equivalencia de $ \ infty $ -groupoids y complejos cruzados" . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 22 (4): 371–386.
- ^ Ara. "Sur les infinity-groupoïdes de Grothendieck et une variante infinity-catégorique" (PDF) . Sección 1.4.3. Archivado (PDF) desde el original el 19 de agosto de 2020.
Artículos de investigación
- Sobre la hipótesis de la homotopía en la dimensión 3
- Nota sobre la construcción de omega-grupoides débiles globulares a partir de tipos, espacios topológicos, etc.
- Monodromía superior
- Teoría superior de Galois
Aplicaciones en geometría algebraica
- Tipos de homotopía de variedades algebraicas - Bertrand Toën
enlaces externos
- infinity-groupoid en nLab
- Maltsiniotis, Georges (2010), "Grothendieck ∞-groupoids, y otra definición más de ∞-categorías", arXiv : 1009.2331 [ math.CT ]
- Zawadowski, Marek, Introducción a las categorías de prueba (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 26 de marzo de 2015
- Cohomología de Etale y representaciones de Galois