En matemáticas , un gerbe ( / dʒ ɜːr b / ; francés: [ʒɛʁb] ) es una construcción en álgebra homológica y topología . Los gerbes fueron introducidos por Jean Giraud ( Giraud 1971 ) siguiendo las ideas de Alexandre Grothendieck como una herramienta para la cohomología no conmutativa en el grado 2. Pueden verse como un análogo de los haces de fibras donde la fibra es la pila de clasificación de un grupo. Los gerbes proporcionan un lenguaje conveniente, aunque muy abstracto, para tratar muchos tipos de deformaciones.preguntas especialmente en geometría algebraica moderna . Además, los casos especiales de gerbios se han utilizado más recientemente en topología diferencial y geometría diferencial para dar descripciones alternativas a ciertas clases de cohomología y estructuras adicionales adjuntas a ellas.
"Gerbe" es una palabra francesa (y arcaica en inglés) que literalmente significa gavilla de trigo .
Definiciones
Gerbes en un espacio topológico
Un gerbe en un espacio topológico. [1] : 318 es una pila de grupoides sobreque es localmente no vacío (cada punto tiene un vecindario abierto sobre el cual la categoría de la sección del gerbe no está vacío) y transitivo (para dos objetos cualesquiera y de para cualquier conjunto abierto , hay una cubierta abierta de tal que las restricciones de y a cada están conectados por al menos un morfismo).
Un ejemplo canónico es el gerbe de paquetes principales con un grupo de estructura fija : la categoría de sección sobre un conjunto abierto es la categoría de principal -paquetes en con isomorfismo como morfismos (por lo tanto, la categoría es un grupoide). A medida que los paquetes principales se pegan (satisfacen la condición de descenso), estos grupoides forman una pila. El paquete trivialmuestra que se satisface la condición de no vacío local y, finalmente, como los haces principales son localmente triviales, se vuelven isomórficos cuando se restringen a conjuntos abiertos suficientemente pequeños; por tanto, también se satisface la condición de transitividad.
Gerbes en un sitio
La definición más general de gerbios se define sobre un sitio. Dado un sitio a -gerbe [2] [3] : 129 es una categoría con fibras en groupoids tal que
- Existe un refinamiento [4] de tal que para cada objeto la categoría de fibra asociada no está vacío
- Para cada dos objetos cualesquiera en la categoría de fibras son localmente isomorfos
Tenga en cuenta que para un sitio con un objeto final , una categoría con fibras en groupoids es un -gerbe admite una sección local, lo que significa que satisface el primer axioma, si .
Motivación por gerbios en un sitio
Una de las principales motivaciones para considerar gerbios en un sitio es considerar la siguiente pregunta ingenua: si el grupo de cohomología cech para una cobertura adecuada de un espacio da las clases de isomorfismo de principal -paquetes sobre , ¿qué hace el functor de cohomología iterado? ¿representar? Es decir, estamos uniendo los gruposa través de algún ciclo. Los gerbios son una respuesta técnica a esta pregunta: dan representaciones geométricas de elementos del grupo de cohomología superior.. Se espera que esta intuición sea válida para los gerbios superiores .
Clasificación cohomológica
Uno de los principales teoremas sobre los gerbios es su clasificación cohomológica siempre que tengan grupos de automorfismos dados por un haz fijo de grupos abelianos. , [5] [2] llamado banda. Por un gerbe en un sitio , un objeto y un objeto , el grupo de automorfismo de un gerbe se define como el grupo de automorfismo . Observe que esto está bien definido siempre que el grupo de automorfismos sea siempre el mismo. Dada una cubierta, hay una clase asociada
que representa la clase de isomorfismo del gerbe anillado por . Por ejemplo, en topología, se pueden construir muchos ejemplos de gerbios considerando los gerbios anillados por el grupo. Como espacio clasificadores el segundo espacio de Eilenberg-Maclane para los enteros, un gerbe de paquete con bandas en un espacio topológico se construye a partir de una clase de mapas de homotopía en
que es exactamente el tercer grupo de homología singular . Se ha encontrado [6] que todos los gerbios que representan clases de cohomología de torsión en están representados por un paquete de álgebras de dimensión finita para un espacio vectorial complejo fijo . Además, las clases sin torsión se representan como paquetes principales de dimensión infinita.del grupo proyectivo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita fija . Tenga en cuenta que esto está bien definido porque todos los espacios de Hilbert separables son isomorfos al espacio de secuencias sumables al cuadrado. La interpretación de la teoría de la homotopía de los gerbios proviene de observar el cuadrado de la fibra de homotopía.
análogo a cómo un paquete de líneas proviene del cuadrado de fibras homotópicas
dónde , donación como el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas en .
Ejemplos de
Geometría algebraica
Dejar ser una variedad sobre un campo algebraicamente cerrado , un grupo algebraico , por ejemplo. Recuerda que un G -torsor máses un espacio algebraico con una acción de y un mapa , de modo que localmente en (en topología étale o topología fppf ) es un producto directo . Un G -gerbe sobre M puede definirse de manera similar. Es una pila de Artin con un mapa , tal que localmente en M (en étale o topología fppf) es un producto directo . [7] Aquídenota la pila de clasificación de, es decir, un cociente de un punto por un trivial -acción. No es necesario imponer la compatibilidad con la estructura del grupo en ese caso, ya que está cubierto por la definición de una pila. Los espacios topológicos subyacentes de y son iguales, pero en cada punto está equipado con un grupo estabilizador isomorfo para .
De complejos de dos términos de haces coherentes.
Cada complejo de dos términos de haces coherentes
en un esquema tiene un conjunto canónico de grupoides asociado, mientras que en un subconjunto abierto hay un complejo de dos términos -módulos
dando un grupoide. Tiene objetos dados por elementos. y un morfismo está dado por un elemento tal que
Para que esta pila sea un Gerbe, debemos tener la gavilla de cohomología tener siempre una sección. Esta hipótesis implica que la categoría construida arriba siempre tiene objetos. Tenga en cuenta que esto se puede aplicar a la situación de los comódulos sobre algebroides de Hopf para construir modelos algebraicos de gerbios sobre pilas afines o proyectivas (proyectividad si se usa un algebroide de Hopf graduado ). Además, espectros de dos términos de la estabilización de la categoría derivada de comódulos de Hopf-algebroids con plano sobre dar modelos adicionales de gerbios que no sean estrictos .
Pila de módulos de paquetes estables en una curva
Considere una curva proyectiva suave encima de género . Dejarser la pila de módulos de paquetes de vectores estables en de rango y grado . Tiene un espacio de módulos gruesos. , que es una variedad cuasiproyectiva . Estos dos problemas de módulos parametrizan los mismos objetos, pero la versión apilada recuerda los automorfismos de los paquetes de vectores. Para cualquier paquete de vectores estable el grupo de automorfismo consta solo de multiplicaciones escalares, por lo que cada punto en una pila de módulos tiene un estabilizador isomorfo a . Resulta que el mapa es de hecho un -gerbe en el sentido anterior. [8] Es un gerbe trivial si y solo si y son coprime .
Pilas de raíces
Se puede encontrar otra clase de gerbios mediante la construcción de pilas de raíces. Informalmente, el-th pila raíz de un paquete de líneas sobre un esquema hay un espacio que representa el-ésima raíz de y se denota
[9] pág. 52
La -th pila raíz de tiene la propiedad
como gerbes. Está construido como la pila
enviando un -esquema a la categoría cuyos objetos son paquetes de líneas de la forma
y los morfismos son diagramas conmutativos compatibles con los isomorfismos . Este gerbe está marcado por el grupo algebraico de raíces de unidad., donde en una portada actúa en un punto permutando cíclicamente los factores de en . Geométricamente, estas pilas se forman como el producto de fibra de pilas
donde el mapa vertical de proviene de la secuencia de Kummer
Esto es porque es el espacio de módulos de los paquetes de líneas, por lo que el paquete de líneas corresponde a un objeto de la categoría (considerado como un punto del espacio de módulos).
Pilas de raíces con secciones
Hay otra construcción relacionada de pilas de raíces con secciones. Dados los datos anteriores, dejemosser una sección. Entonces el-th pila raíz del par se define como el 2-functor laxo [9] [10]
enviando un -esquema a la categoría cuyos objetos alinean paquetes de la forma
y los morfismos se dan de manera similar. Estas pilas se pueden construir de manera muy explícita y se entienden bien para esquemas afines. De hecho, estos forman los modelos afines para las pilas de raíces con secciones. [10] : 4 Dado un esquema afín, todos los paquetes de líneas son triviales, por lo tanto y cualquier sección es equivalente a tomar un elemento . Entonces, la pila viene dada por el cociente de pila
[10] : 9
con
Si entonces esto da una extensión infinitesimal de .
Ejemplos a lo largo de la geometría algebraica
Estos y tipos más generales de gerbios surgen en varios contextos como espacios geométricos y como herramientas formales de contabilidad:
- Álgebras de Azumaya
- Deformaciones de engrosamientos infinitesimales
- Formas retorcidas de variedades proyectivas.
- Functores de fibra por motivos
Geometría diferencial
- y -gerbes: Jean-Luc Brylinski enfoque 's
Historia
Los gerbes aparecieron por primera vez en el contexto de la geometría algebraica . Posteriormente fueron desarrollados en un marco geométrico más tradicional por Brylinski ( Brylinski 1993 ). Se puede pensar en los gerbios como un paso natural en una jerarquía de objetos matemáticos que proporcionan realizaciones geométricas de clases de cohomología integral .
Murray introdujo una noción más especializada de gerbe y la llamó gerbes de manojo . Esencialmente, son una versión suave de los gerbios abelianos que pertenecen más a la jerarquía comenzando con haces principales que con haces . Los paquetes de gerbios se han utilizado en la teoría de gauge y también en la teoría de cuerdas . El trabajo actual de otros está desarrollando una teoría de los gerbios de haz no abelianos .
Ver también
- gavilla retorcida
- Álgebra de Azumaya
- Teoría K retorcida
- Pila algebraica
- Paquete gerbe
- Grupo de cuerdas
Referencias
- ^ Teoría básica del paquete e invariantes de K-cohomología . Husemöller, Dale. Berlín: Springer. 2008. ISBN 978-3-540-74956-1. OCLC 233973513 .CS1 maint: otros ( enlace )
- ^ a b "Sección 8.11 (06NY): Gerbes: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 27 de octubre de 2020 .
- ^ Giraud, J. (Jean) (1971). Cohomologie non abélienne . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-05307-7. OCLC 186709 .
- ^ "Sección 7.8 (00VS): Familias de morfismos con objetivo fijo: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 27 de octubre de 2020 .
- ^ "Sección 21.11 (0CJZ): Segunda cohomología y gerbios: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 27 de octubre de 2020 .
- ^ Karoubi, Max (12 de diciembre de 2010). "Paquetes retorcidos y teoría K retorcida". arXiv : 1012.2512 [ math.KT ].
- ^ Edidin, Dan; Hassett, Brendan; Kresch, Andrew; Vistoli, Angelo (2001). "Grupos de Brauer y pilas de cocientes". Revista Estadounidense de Matemáticas . 123 (4): 761–777. arXiv : matemáticas / 9905049 . doi : 10.1353 / ajm.2001.0024 . S2CID 16541492 .
- ^ Hoffman, Norbert (2010). "Pilas de módulos de paquetes de vectores en curvas y la prueba de racionalidad de King-Schofield". Enfoques cohomológicos y geométricos de problemas de racionalidad : 133-148. arXiv : matemáticas / 0511660 . doi : 10.1007 / 978-0-8176-4934-0_5 . ISBN 978-0-8176-4933-3. S2CID 5467668 .
- ^ a b Abramovich, Dan; Graber, Tom; Vistoli, Angelo (13 de abril de 2008). "Teoría de Gromov-Witten de pilas de Deligne-Mumford". arXiv : matemáticas / 0603151 .
- ^ a b c Cadman, Charles (2007). "Uso de pilas para imponer condiciones de tangencia en curvas" (PDF) . Amer. J. Math . 129 (2): 405–427. arXiv : matemáticas / 0312349 . doi : 10.1353 / ajm.2007.0007 . S2CID 10323243 .
- Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7.
- Brylinski, Jean-Luc (1993), Espacio de bucle, clases características y cuantización geométrica , Birkhäuser Verlag , ISBN 0-8176-3644-7.
enlaces externos
Artículos introductorios
- Construcciones con Bundle Gerbes - Stuart Johnson
- Introducción a Gerbes en Orbifolds , Ernesto Lupercio, Bernado Uribe.
- ¿Qué es un gerbe? , por Nigel Hitchin en Avisos de la AMS
- Bundle gerbes , Michael Murray.
- Moerdijk, Ieke. "Introducción al lenguaje de Stacks y Gerbes" . Consultado el 20 de mayo de 2007 .
Gerbios en topología
- Teoría de la homotopía de las pretensiones de grupos simpliciales , Zhi-Ming Luo
Teoría K retorcida
- Teoría K retorcida y teoría K de los gerbios en paquete
- Paquetes retorcidos y teoría K retorcida - Karoubi
Aplicaciones en teoría de cuerdas
- Singularidades estables en la teoría de cuerdas : contiene ejemplos de gerbes en el apéndice utilizando el grupo Brauer
- Branes en colectores de grupo, condensados de gluones y teoría K retorcida
- Conferencias sobre subvariedades lagrangianas especiales: introducción muy realista con aplicaciones a la simetría especular
- El gerbe básico sobre un grupo de mentira simple y compacto : proporciona técnicas para describir grupos como el grupo String como un gerbe