En matemáticas, la fórmula de Abel-Plana es una fórmula de suma descubierta independientemente por Niels Henrik Abel ( 1823 ) y Giovanni Antonio Amedeo Plana ( 1820 ). Se afirma que
Se cumple para funciones f que son holomorfas en la región Re ( z ) ≥ 0, y satisfacen una condición de crecimiento adecuada en esta región; por ejemplo, es suficiente asumir que | f | está delimitado por C / | z | 1 + ε en esta región para algunas constantes C , ε> 0, aunque la fórmula también se mantiene en límites mucho más débiles. ( Olver 1997 , p. 290).
Un ejemplo lo proporciona la función zeta de Hurwitz ,
que es válido para todo s ∈ ℂ , s ≠ 1 .
Abel también dio la siguiente variación para alternar sumas:
Dejar ser holomórfico en , tal que , y para , . Tomandocon el teorema del residuo
Luego
Utilizando el teorema de la integral de Cauchy para el último., obteniendo asi
Esta identidad se mantiene verdadera por la continuación analítica en todas partes donde la integral converge, dejando obtenemos la fórmula de Abel-Plana
- .
El caso f (0) ≠ 0 se obtiene de manera similar, reemplazandopor dos integrales que siguen las mismas curvas con una pequeña sangría a la izquierda y a la derecha de 0 .