En matemáticas , el teorema de la integral de Cauchy (también conocido como teorema de Cauchy-Goursat ) en análisis complejo , llamado así por Augustin-Louis Cauchy (y Édouard Goursat ), es una declaración importante sobre integrales de línea para funciones holomórficas en el plano complejo . Esencialmente, dice que si dos caminos diferentes conectan los mismos dos puntos, y una función es holomórfica en todas partes entre los dos caminos, entonces las dos integrales del camino de la función serán las mismas.
Declaración
Formulación en regiones simplemente conectadas
Dejar ser un conjunto abierto simplemente conectado , y dejarser una función holomórfica . Dejarser una curva cerrada suave. Luego:
(La condición que estar simplemente conectado significa queno tiene "agujeros", o en otras palabras, que el grupo fundamental de es trivial.)
Formulación general
Dejar ser un conjunto abierto , y dejarser una función holomórfica . Dejarser una curva cerrada suave. Sies homotópico a una curva constante, entonces:
(Recuerde que una curva es homotópica a una curva constante si existe una homotopía suave de la curva a la curva constante. Intuitivamente, esto significa que uno puede encoger la curva en un punto sin salir del espacio). La primera versión es una especial caso de esto porque en un conjunto simplemente conectado , cada curva cerrada es homotópica a una curva constante.
Ejemplo principal
En ambos casos, es importante recordar que la curva no rodee ningún "agujero" en el dominio, o de lo contrario el teorema no se aplica. Un ejemplo famoso es la siguiente curva:
que traza el círculo unitario. Aquí la siguiente integral:
es distinto de cero. El teorema de la integral de Cauchy no se aplica aquí ya que no está definido en . Intuitivamente, rodea un "agujero" en el dominio de , entonces no se puede reducir a un punto sin salir del espacio. Por tanto, el teorema no se aplica.
Discusión
Como mostró Édouard Goursat , el teorema de la integral de Cauchy se puede probar asumiendo solo que la derivada compleja existe en todas partes en . Esto es significativo porque luego se puede probar la fórmula integral de Cauchy para estas funciones, y de ahí deducir que estas funciones son infinitamente diferenciables .
La condición que estar simplemente conectado significa queno tiene "agujeros" o, en términos de homotopía , que el grupo fundamental dees trivial; por ejemplo, cada disco abierto, por , califica. La condición es crucial; considerar
que traza el círculo unitario, y luego la integral de trayectoria
es distinto de cero; el teorema de la integral de Cauchy no se aplica aquí ya que no está definido (y ciertamente no es holomórfico) en .
Una consecuencia importante del teorema es que las integrales de trayectoria de funciones holomórficas en dominios simplemente conectados se pueden calcular de una manera familiar a partir del teorema fundamental del cálculo : seaser un subconjunto abierto simplemente conectado de, dejar ser una función holomórfica, y dejar ser una ruta continuamente diferenciable por partes en con punto de inicio y punto final . Sies una antiderivada compleja de, luego
El teorema de la integral de Cauchy es válido con una hipótesis más débil que la dada anteriormente, por ejemplo, dado , un subconjunto abierto simplemente conectado de, podemos debilitar las suposiciones para ser holomórfico en y continua y un bucle simple rectificable en . [1]
El teorema de la integral de Cauchy conduce a la fórmula integral de Cauchy y al teorema del residuo .
Prueba
Si se supone que las derivadas parciales de una función holomórfica son continuas, el teorema de la integral de Cauchy puede demostrarse como una consecuencia directa del teorema de Green y el hecho de que las partes real e imaginaria dedebe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la región delimitada por, y además en el barrio abierto U de esta región. Cauchy proporcionó esta prueba, pero luego fue probada por Goursat sin requerir técnicas de cálculo vectorial o la continuidad de derivadas parciales.
Podemos romper el integrando , así como el diferencial en sus componentes reales e imaginarios:
En este caso tenemos
Por el teorema de Green , podemos reemplazar las integrales alrededor del contorno cerrado con un área integral en todo el dominio que está encerrado por como sigue:
Pero como las partes real e imaginaria de una función holomórfica en el dominio , y debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí:
Por tanto, encontramos que ambos integrandos (y por tanto sus integrales) son cero
Esto da el resultado deseado
Ver también
Referencias
- ↑ Walsh, JL (1 de mayo de 1933). "El teorema de Cauchy-Goursat para curvas de Jordan rectificables" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 19 (5): 540–541. doi : 10.1073 / pnas.19.5.540 . ISSN 0027-8424 . PMC 1086062 . PMID 16587781 .
- Kodaira, Kunihiko (2007), Análisis complejo , Cambridge Stud. Adv. Matemáticas., 107, CUP , ISBN 978-0-521-80937-5
- Ahlfors, Lars (2000), Análisis complejo , serie McGraw-Hill en matemáticas, McGraw-Hill , ISBN 0-07-000657-1
- Lang, Serge (2003), Análisis complejo , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
- Rudin, Walter (2000), Análisis real y complejo , serie McGraw-Hill en matemáticas, McGraw-Hill
enlaces externos
- "Teorema de la integral de Cauchy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Teorema integral de Cauchy" . MathWorld .