Error de aproximación

Para una cobertura más amplia de este tema, consulte Aproximación .

Gráfico de (azul) con su aproximación lineal (rojo) en a = 0. El error de aproximación es la brecha entre las curvas, y aumenta para los valores de x más allá de 0.${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle P_{1}(x)=1+x}$

El error de aproximación en algunos datos es la discrepancia entre un valor exacto y alguna aproximación a él. Puede producirse un error de aproximación porque:

1. la medición de los datos no es precisa debido a los instrumentos. (p. ej., la lectura precisa de una hoja de papel es de 4,5 cm, pero como la regla no utiliza decimales, se redondea a 5 cm) o
2. aproximaciones

En el campo matemático del análisis numérico , la estabilidad numérica de un algoritmo indica cómo el algoritmo propaga el error.

Definición formal

Se distingue comúnmente entre el error relativo y el absoluto Dado algún valor vy su aproximación v _aprox , el error absoluto es

${\displaystyle \epsilon =|v-v_{\text{approx}}|\ ,}$

donde las barras verticales denotan el valor absoluto . Si el error relativo es${\displaystyle v\neq 0,}$

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|,}$

y el error porcentual es

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times {\frac {\epsilon }{|v|}}=100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

En palabras, el error absoluto es la magnitud de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación. El error relativo es el error absoluto dividido por la magnitud del valor exacto. El error porcentual es el error relativo expresado en términos de por 100.

Un límite de error es un límite superior del tamaño relativo o absoluto de un error de aproximación.

Generalizaciones

Estas definiciones pueden extenderse al caso cuando y son vectores n- dimensionales , reemplazando el valor absoluto con una n- norma . ^[1]${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{\text{approx}}}$

Ejemplos

Por ejemplo, si el valor exacto es 50 y la aproximación es 49,9, entonces el error absoluto es 0,1 y el error relativo es 0,1 / 50 = 0,002 = 0,2%. Otro ejemplo sería si, al medir un vaso de precipitados de 6 mL, el valor leído fuera de 5 mL. La lectura correcta es de 6 ml, esto significa que el porcentaje de error en esa situación particular es, redondeado, 16.7%.

El error relativo se usa a menudo para comparar aproximaciones de números de tamaños muy diferentes; por ejemplo, aproximar el número 1,000 con un error absoluto de 3 es, en la mayoría de las aplicaciones, mucho peor que aproximar el número 1,000,000 con un error absoluto de 3; en el primer caso el error relativo es 0.003 y en el segundo es solo 0.000003.

Hay dos características del error relativo que deben tenerse en cuenta. En primer lugar, el error relativo no está definido cuando el valor real es cero, como aparece en el denominador (ver más abajo). En segundo lugar, el error relativo solo tiene sentido cuando se mide en una escala de razón (es decir, una escala que tiene un verdadero cero significativo); de lo contrario, sería sensible a las unidades de medida. Por ejemplo, cuando un error absoluto en una medición de temperatura dada en una escala Celsius es 1 ° C y el valor real es 2 ° C, el error relativo es 0,5 y el error porcentual es 50%. Para este mismo caso, cuando la temperatura se da en escala Kelvin , el mismo error absoluto de 1 K con el mismo valor verdadero de 275.15 K da un error relativo de 3.63 × 10^{- 3} y un porcentaje de error de solo 0,363%. La temperatura Celsius se mide en una escala de intervalo , mientras que la escala Kelvin tiene un verdadero cero y también lo es una escala de relación.

Instrumentos

En la mayoría de los instrumentos indicadores, la precisión está garantizada a un cierto porcentaje de la lectura a escala completa. Los límites de estas desviaciones de los valores especificados se conocen como errores de limitación o errores de garantía. ^[2]

Ver también

• Valor aceptado y experimental
• Diferencia relativa
• Incertidumbre
• Análisis de incertidumbre experimental
• Propagación de la incertidumbre
• Errores y residuales en estadísticas
• Error de redondeo
• Error de cuantificación
• Incertidumbre de medicion
• Error de medición
• Epsilon de la máquina

Referencias

1. Golub, Gene ; Charles F. Van Loan (1996). Cálculos matriciales - Tercera edición . Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins. pag. 53. ISBN 0-8018-5413-X.
2. Helfrick, Albert D. (2005) Técnicas de medición e instrumentación electrónica moderna . pag. 16. ISBN 81-297-0731-4 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Porcentaje de error" . MathWorld .