En matemáticas , una presentación absoluta es un método para definir un grupo . [1]
Recuerda eso para definir un grupo por medio de una presentación , se especifica un conjuntode generadores para que cada elemento del grupo pueda escribirse como un producto de algunos de estos generadores, y un conjuntode las relaciones entre esos generadores. En símbolos:
Informalmente es el grupo generado por el conjunto tal que para todos . Pero aquí hay una suposición tácita de quees el grupo "más libre" ya que claramente las relaciones se satisfacen en cualquier imagen homomórfica de. Una forma de poder eliminar esta suposición tácita es especificando que ciertas palabras en no debe ser igual a Es decir, especificamos un conjunto , llamado el conjunto de irrelaciones , tal que para todos .
Definicion formal
Para definir una presentación absoluta de un grupo uno especifica un conjunto de generadores, un conjunto de relaciones entre esos generadores y un conjunto de irrelaciones entre esos generadores. Entonces decimos tiene presentación absoluta
siempre que:
- tiene presentación
- Dado cualquier homomorfismo tal que las irrelaciones están satisfechos en , es isomorfo a.
Una forma más algebraica, pero equivalente, de enunciar la condición 2 es:
- 2a. Si es un subgrupo normal no trivial de luego
Observación: El concepto de presentación absoluta ha sido fructífero en campos como los grupos algebraicamente cerrados y la topología de Grigorchuk . En la literatura, en un contexto donde se discuten presentaciones absolutas, una presentación (en el sentido habitual de la palabra) a veces se denomina presentación relativa , que es una instancia de un retrónimo .
Ejemplo
El grupo cíclico de orden 8 tiene la presentación
Pero, hasta el isomorfismo hay tres grupos más que "satisfacen" la relación a saber:
- y
Sin embargo, ninguno de estos satisface la irrelación . Entonces, una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 es:
Es parte de la definición de una presentación absoluta que las irrelaciones no se satisfagan en ninguna imagen homomórfica propia del grupo. Por lo tanto:
No es una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 porque la irrelación se satisface en el grupo cíclico de orden 4.
Fondo
La noción de una presentación absoluta surge del estudio de Bernhard Neumann del problema del isomorfismo para grupos algebraicamente cerrados . [1]
Una estrategia común para considerar si dos grupos y son isomorfos es considerar si una presentación para uno podría transformarse en una presentación para el otro. Sin embargo, los grupos algebraicamente cerrados no se generan de forma finita ni se presentan de forma recursiva, por lo que es imposible comparar sus presentaciones. Neumann consideró la siguiente estrategia alternativa:
Supongamos que sabemos que un grupo con presentación finita se puede incrustar en el grupo algebraicamente cerrado luego se le dio otro grupo algebraicamente cerrado , podemos preguntar "Can estar incrustado en ? "
Pronto se hace evidente que una presentación para un grupo no contiene suficiente información para tomar esta decisión, ya que puede haber un homomorfismo. , este homomorfismo no tiene por qué ser una incrustación. Lo que se necesita es una especificación paraque "obliga" a cualquier homomorfismo que conserve esa especificación a ser una incrustación. Una presentación absoluta hace precisamente esto.