Conjunto absolutamente convexo

En matemáticas , se dice que un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo es absolutamente convexo o en forma de disco si es convexo y equilibrado (algunas personas usan el término "en círculo" en lugar de "equilibrado"), en cuyo caso se llama un disco . El casco en forma de disco o el casco convexo absoluto de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.

Definición

La zona gris clara es el casco absolutamente convexo de la cruz.

Si es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo entonces llamamos a un disco y decimos que se disked , absolutamente convexa y convexa equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

1. ${\displaystyle S}$es convexo y equilibrado ;
2. para cualquier escalar y si entonces ;${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$${\displaystyle aS+bS\subseteq S}$
3. para todos los escalares y si entonces ;${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$${\displaystyle aS+bS\subseteq cS}$
4. para cualquier escalar si entonces ;${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq 1}$${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S}$
5. para cualquier escalar si entonces ;${\displaystyle c,a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq |c|}$${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS}$

Recuerde que el subconjunto convexo (resp. Equilibrado ) más pequeño de que contiene un conjunto se denomina casco convexo (resp. Casco equilibrado) de ese conjunto y se denota por (resp. ). ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle \operatorname {bal} S}$

De manera similar, definimos el casco con disco , el casco convexo absoluto o el casco convexo equilibrado de un conjunto se define como el disco más pequeño (con respecto a la inclusión del subconjunto ) que contiene ^[1] El casco con disco de será denotado por o y es igual a cada uno de los siguientes conjuntos: ${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {disk} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

1. ${\displaystyle \operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right),}$cuál es el casco convexo del casco equilibrado de ; Por lo tanto, ;${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right)}$
   • Sin embargo, tenga en cuenta que, en general, incluso en dimensiones finitas ,${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right),}$
2. la intersección de todos los discos que contienen ${\displaystyle S,}$
3. ${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}~:~n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in A,\,\sum _{i=1}^{n}\left|\lambda _{i}\right|\leq 1\right\},}$donde son elementos del campo subyacente .${\displaystyle \lambda _{i}}$

Condiciones suficientes

• La intersección de arbitrariamente muchos conjuntos absolutamente convexos es de nuevo absolutamente convexa; sin embargo, las uniones de conjuntos absolutamente convexos ya no necesitan ser absolutamente convexas.
• si hay un disco adentro, entonces está absorbiendo si y solo si ^[2]${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

Propiedades

Ver también: Espacio vectorial topológico § Propiedades

• Si hay un disco absorbente en un espacio vectorial, entonces existe un disco absorbente en el que ^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E+E\subseteq S.}$
• El casco equilibrado convexo de contiene tanto el casco convexo como el casco equilibrado de${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
• El casco absolutamente convexo de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico está nuevamente acotado.
• Si es un disco acotado en un TVS y si es una secuencia en, entonces las sumas parciales son Cauchy , donde para todos ^[4]${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle D,}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$
  • En particular, si además es un subconjunto secuencialmente completo, entonces esta serie converge en algún punto de${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D.}$

Ejemplos

Aunque el casco balanceado convexo de no es necesariamente igual al casco balanceado del casco convexo de ^[1] Por ejemplo , sea ​​el espacio vectorial real y sea Then un subconjunto estricto de que ni siquiera es convexo. En particular, este ejemplo también muestra que el casco equilibrado de un conjunto convexo no es necesariamente convexo. Para ver esto, tenga en cuenta que es igual al cuadrado cerrado con vértices y while es un subconjunto cerrado en forma de " reloj de arena " que cruza el${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$${\displaystyle (1,-1)}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$${\displaystyle x}$-axis at the origin and is the union of two triangles: one whose vertices are the origin along with ${\displaystyle S}$ and the other triangle whose vertices are the origin along with ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$

See also

The Wikibook Algebra has a page on the topic of: Vector spaces

• Absorbing set – A set that can be "inflated" to eventually always include any given point in a space
• Balanced set – Construct in functional analysis
• Bounded set (topological vector space)
• Convex set – In geometry, set that intersects every line into a single line segment
• Star domain
• Symmetric set
• Vector (geometric), for vectors in physics
• Campo vectorial  : asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano.

Referencias

1. Trèves , 2006 , p. 68.
2. Narici y Beckenstein 2011 , págs. 67-113.
3. Narici y Beckenstein 2011 , págs. 149-153.
4. Narici y Beckenstein 2011 , p. 471.

Bibliografía

• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. 53 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 4–6.
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, HH (1999). Espacios vectoriales topológicos . Springer-Verlag Press . pag. 39.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .