Conjunto equilibrado

Construir en análisis funcional

En álgebra lineal y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto equilibrado , un conjunto en círculo o un disco en un espacio vectorial (sobre un campo 𝕂 con una función de valor absoluto ) es un conjunto S tal que aS ⊆ S para todos los escalares un satisfactorio | a | ≤ 1 . ${\displaystyle |\cdot |}$

El casco equilibrado o sobre de equilibrado de un conjunto S es el conjunto equilibrado más pequeño que contiene S . El núcleo equilibrado de un subconjunto S es el más grande conjunto equilibrado contenido en S .

Definición

Suponga que X es un espacio vectorial sobre el campo 𝕂 de números reales o complejos . Los elementos de 𝕂 se llaman escalares .

Notación : Si S es un conjunto, a es un escalar y B ⊆ 𝕂 entonces sea a S  : = { a s  : s ∈ S  } y B S  : = { b s  : b ∈ B , s ∈ S  }.

Notación : Para cualquier 0 ≤ r ≤ ∞ , sea B _r  : = { a ∈ 𝕂: | a | ≤ r  } denota la bola cerrada de radio r en 𝕂 centrada en 0 y sea B _r  : = { a ∈ 𝕂: | a | < r  } denota la correspondiente bola abierta. Tenga en cuenta que B ₀ = ∅ , B ₀ = {0   } y B _∞ = B _∞ = 𝕂 .

• Observe que cada subconjunto balanceado del campo 𝕂 es de la forma B _r o B _r para algún 0 ≤ r ≤ ∞ .

Definición : Un subconjunto S de X se llama equilibrado si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. a S ⊆ S para todos los escalares a satisfactorio | a | ≤ 1 ;
2. B ₁ S ⊆ S , donde B ₁  : = { a ∈ 𝕂: | a | ≤ 1 };
3. S = B ₁ S ; ^[1]
4. Para cada s ∈ S , S ∩ 𝕂 s = B ₁ ( S ∩ 𝕂 s ) ;
   • Tenga en cuenta que si dejamos R  : = S ∩ 𝕂 s, entonces la igualdad anterior se convierte en R = B ₁ R , que es exactamente la condición previa para que un conjunto sea equilibrado. Por tanto, S está equilibrado si y sólo si para cada s ∈ S , S ∩ 𝕂 s es un conjunto equilibrado (de acuerdo con cualquiera de las condiciones definitorias anteriores);
5. Para cada subespacio vectorial unidimensional Y del intervalo S , S ∩ Y es un conjunto equilibrado (de acuerdo con cualquier condición definitoria superior a ésta).
6. Para cada s ∈ S , existe un 0 ≤ r ≤ ∞ tal que S ∩ 𝕂 s = B _r s o S ∩ 𝕂 s = B _r s ;

Si S es un conjunto convexo , podemos agregar a esta lista:

7. a S ⊆ S para todos los escalares a satisfactorio | a | = 1 . ^[2]

Si 𝕂 = ℝ entonces podemos agregar a esta lista:

8. S es simétrica (es decir, - S = S ) y [0, 1) S ⊆ S .

Definición y notación : El casco equilibrado de un subconjunto S de X , denotado por bal S , se define de cualquiera de las siguientes formas equivalentes:

1. bal S es el subconjunto equilibrado más pequeño de X que contiene S ;
2. bal S es la intersección de todos los conjuntos balanceados que contienen S ;
3. bal S =∪| a | ≤ 1( una S ) ;
4. bal S = B ₁ S , donde B ₁  : = { a ∈ 𝕂: | a | ≤ 1  }. ^[1]

Definición y notación : El núcleo balanceado de un subconjunto S de X , denotado por balcore S , se define de cualquiera de las siguientes formas equivalentes:

1. balcore S es el conjunto equilibrado más grande contenido en S ;
2. balcore S es la unión de todos los subconjuntos balanceados de S ;
3. balcore S = ∅ si 0 ∉ S mientras balcore S =∩| a | ≥ 1( AS ) si 0 ∈ S .

Ejemplos y condiciones suficientes

Condiciones suficientes

• El cierre de un conjunto equilibrado es equilibrado.
• El casco convexo de un conjunto equilibrado es convexo y equilibrado (es decir, absolutamente convexo ).
  • Sin embargo, el casco equilibrado de un conjunto convexo puede no ser convexo.
• El casco equilibrado de un conjunto compacto (resp. Totalmente acotado , acotado) es compacto (resp. Totalmente acotado, acotado). ^[3]
• Las uniones arbitrarias de conjuntos equilibrados son un conjunto equilibrado.
• Las intersecciones arbitrarias de conjuntos equilibrados son un conjunto equilibrado.
• Los múltiplos escalares de conjuntos equilibrados están equilibrados.
• La suma de Minkowski de dos conjuntos equilibrados está equilibrada.
• La imagen de un conjunto equilibrado bajo un operador lineal es nuevamente un conjunto equilibrado.
• La imagen inversa de un conjunto equilibrado (en el codominio) bajo un operador lineal es nuevamente un conjunto equilibrado (en el dominio).
• En cualquier espacio vectorial topológico , el interior de una vecindad equilibrada de 0 vuelve a estar equilibrado.

Ejemplos de

• Si S ⊆ X es cualquier subconjunto y B ₁  : = { a ∈ 𝕂: | a | <1  } entonces B ₁ S es un conjunto equilibrado.
  • En particular, si U ⊆ X es cualquier vecindad balanceada del origen en un TVS X entonces Int U = B ₁ U =∪0 <| a | <1 un T ⊆ T .
• Si 𝕂 es el campo de números reales o complejos y X = 𝕂 es el espacio normado sobre 𝕂 con la norma euclidiana habitual, entonces los subconjuntos balanceados de X son exactamente los siguientes: ^[4]
  1. ∅
  2. X
  3. {0  }
  4. { x ∈ X  : | x | < r  } para algunos reales r > 0
  5. { x ∈ X  : | x | ≤ r  } para algún r > 0 real .
• Las bolas abiertas y cerradas centradas en 0 en un espacio vectorial normalizado son conjuntos equilibrados.
• Cualquier subespacio vectorial de un espacio vectorial real o complejo es un conjunto equilibrado.
• Si X = ℝ ² ( X es un espacio vectorial sobre ℝ ), B ₁ es la bola unitaria cerrada en X centrada en el origen, x ₀ ∈ X no es cero y L  : = ℝ x ₀ , entonces el conjunto R  : = B ₁ ∪ L es un barrio cerrado, simétrica y equilibrada del origen en X . De manera más general, si C es cualquier subconjunto cerrado de X tal que (0, 1) C ⊆ C, Entonces S  : = B ₁ ∪ C ∪ (- C ) es un barrio cerrado, simétrica y equilibrada del origen en X . Este ejemplo se puede generalizar a ℝ ⁿ para cualquier número entero n ≥ 1 .
• El producto cartesiano de una familia de conjuntos equilibrados se equilibra en el espacio producto de los espacios vectoriales correspondientes (sobre el mismo campo 𝕂 ).
• Considere ℂ , el campo de números complejos, como un espacio vectorial unidimensional. Los conjuntos equilibrados son ℂ mismo, el conjunto vacío y los discos abiertos y cerrados centrados en cero. Por el contrario, en el espacio euclidiano bidimensional hay muchos más conjuntos equilibrados: cualquier segmento de línea con punto medio en el origen servirá. Como resultado, ℂ y ℝ ² son completamente diferentes en lo que respecta a la multiplicación escalar .
• Si p es una semi-norma en un espacio lineal X , entonces para cualquier constante c > 0 el conjunto { x ∈ X  : p ( x ) ≤ c } está balanceado.
• Sea X = ℝ ² y sea B la unión del segmento de línea entre (-1, 0) y (1, 0) y el segmento de línea entre (0, -1) y (0, 1) . Entonces B está equilibrado pero no convexo ni absorbente. Sin embargo, lapso B = X .
• Sea X = ℝ ² y para cada 0 ≤ t <𝜋 , sea r _t cualquier número real positivo y sea B ^t el segmento de recta (abierto o cerrado) entre los puntos (cos t , sen t ) y - (cos t , sin t ) . Entonces el conjunto B =∪0 ≤ t <𝜋 r _t B ^t es equilibrado y absorbente, pero no necesariamente convexo.
• No es necesario cerrar el casco equilibrado de un conjunto cerrado. Tomemos, por ejemplo, la gráfica de xy = 1 en X = ℝ ² .

Propiedades

Ver también: Espacio vectorial topológico § Propiedades

Propiedades de los conjuntos equilibrados

• Un conjunto es absolutamente convexo si y solo si es convexo y equilibrado.
• Si B está equilibrado, para cualquier escalar a , aB = | a | B .
• Si B se equilibra entonces para cualquier escalares a y b tal que | a | ≤ | b | , aB ⊆ bB .
• La unión de {0 } y el interior de un conjunto equilibrado está equilibrada.
• Si B es un subconjunto equilibrado de X , entonces B está absorbiendo en X si y sólo si para todo x ∈ X , existe r > 0 tal que x ∈ rB . ^[2]
• Si B es un subconjunto equilibrado de X , entonces B está absorbiendo en lapso B .
• La suma de Minkowski de dos conjuntos equilibrados está equilibrada.
• Todo conjunto equilibrado es simétrico .
• Cada conjunto equilibrado está conectado por caminos .
• Suponga que B está equilibrado. Si Y es un subespacio vectorial unidimensional de X, entonces B ∩ Y es convexo y equilibrado. Si Y es un subespacio vectorial 1-dimensional de lapso B entonces B ∩ Y también está absorbiendo en Y .
• Si B ≠ ∅ es un balanceado, entonces para cualquier x ∈ X , B ∩ ℝ x es un conjunto balanceado convexo que contiene el origen. Si B es una vecindad de 0 en X, entonces B ∩ ℝ x es una vecindad convexa balanceada de 0 en el subespacio vectorial real ℝ x .

Propiedades de los cascos equilibrados

• a bal S = bal ( aS ) para cualquier subconjunto S de X y cualquier escalar a .
• bal∪S ∈ 𝒮 S ) =∪S ∈ 𝒮bal ( S ) para cualquier colección 𝒮 de subconjuntos de X .
• En cualquier espacio vectorial topológico, el casco equilibrado de cualquier vecindario abierto de 0 vuelve a estar abierto.
• Si X es un espacio vectorial topológico de Hausdorff y si K es un subconjunto compacto de X , entonces el casco equilibrado de K es compacto. ^[5]

Núcleo equilibrado

• El núcleo equilibrado de un subconjunto cerrado está cerrado.
• El núcleo equilibrado de un absorbente subconjunto está absorbiendo.

Ver también

• Conjunto absolutamente convexo
• Conjunto absorbente  : un conjunto que se puede "inflar" para eventualmente incluir siempre un punto determinado en un espacio.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Conjunto convexo  : en geometría, conjunto que interseca cada línea en un solo segmento de línea
• Dominio estrella
• Conjunto simétrico
• Espacio vectorial topológico: espacio  vectorial con una noción de proximidad

Referencias

1. Swartz 1992 , págs. 4-8.
2. Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 107-110.
3. Narici y Beckenstein 2011 , págs. 156-175.
4. Jarchow 1981 , p. 34.
5. Trèves , 2006 , p. 56.

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales . Matemática pura y aplicada . 1 . Nueva York: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261 .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Köthe, Gottfried (1969). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor  0248498 . OCLC  840293704 .
• Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 237 . Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .