Anillo regular de von Neumann
En matemáticas , un anillo regular de von Neumann es un anillo R (asociativo, con 1, no necesariamente conmutativo) tal que para cada elemento a en R existe una x en R con a = axa . Uno puede pensar en x como un "inverso débil" del elemento a; en general, x no está determinado únicamente por a . Los anillos regulares de Von Neumann también se denominan anillos absolutamente planos , porque estos anillos se caracterizan por el hecho de que cada módulo R izquierdo esplana .
Los anillos regulares de Von Neumann fueron introducidos por von Neumann ( 1936 ) bajo el nombre de "anillos regulares", en el curso de su estudio de las álgebras de von Neumann y la geometría continua . Los anillos regulares de Von Neumann no deben confundirse con los anillos regulares no relacionados y los anillos locales regulares del álgebra conmutativa .
Un elemento a de un anillo se llama elemento regular de von Neumann si existe una x tal que a = axa . [1] Un ideal se denomina (von Neumann) ideales regular de si para cada elemento de una en existe un elemento x en de tal manera que un = axa . [2]
Cada campo (y cada campo de sesgo ) es regular de von Neumann: para a ≠ 0 podemos tomar x = a −1 . [1] Un dominio integral es regular de von Neumann si y solo si es un campo. Cada producto directo de los anillos regulares de von Neumann vuelve a ser regular de von Neumann.
Otra clase importante de ejemplos de von Neumann anillos regulares son los anillos M n ( K ) de n -by- n matrices cuadradas con las entradas de algún campo K . Si r es el rango de A ∈ M n ( K ) , la eliminación gaussiana da matrices invertibles U y V tales que
De manera más general, el anillo de matriz nxn sobre cualquier anillo regular de von Neumann es nuevamente regular de von Neumann. [1]