Espacio abstracto Wiener

El concepto de un espacio abstracto de Wiener es una construcción matemática desarrollada por Leonard Gross para comprender la estructura de las medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita. La construcción enfatiza el papel fundamental que juega el espacio Cameron-Martin . El espacio clásico de Wiener es el ejemplo prototípico.

El teorema de la estructura para las medidas gaussianas establece que todas las medidas gaussianas pueden representarse mediante la construcción del espacio abstracto de Wiener.

Motivación

Sea un espacio de Hilbert real , asumido como de dimensión infinita y separable . En la literatura de física, con frecuencia se encuentran integrales de la forma ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,}$

donde se supone que es una constante de normalización y donde se supone que es la medida de Lebesgue inexistente en . Tales integrales surgen, en particular, en el contexto de la formulación de integral de trayectoria euclidiana de la teoría cuántica de campos. A nivel matemático, tal integral no se puede interpretar como integración contra una medida en el espacio original de Hilbert . Por otro lado, supongamos que es un espacio de Banach que contiene como un subespacio denso. Si es "suficientemente mayor" que , entonces la integral anterior se puede interpretar como una integración frente a una medida (gaussiana) bien definida en . En ese caso, la pareja${\displaystyle Z}$${\displaystyle Dv}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (H,B)}$ se conoce como un espacio abstracto de Wiener.

El ejemplo prototípico es el espacio de Wiener clásico, en el que se encuentra el espacio de Hilbert de funciones con valores reales en un intervalo que tiene una derivada en y es satisfactorio , con la norma dada por${\displaystyle H}$${\displaystyle b}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle b(0)=0}$

${\displaystyle \left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

En ese caso, puede tomarse como el espacio de Banach de funciones continuas con la norma supremum . En este caso, la medida de es la medida de Wiener que describe el movimiento browniano que comienza en el origen. El subespacio original se llama espacio de Cameron-Martin , que forma un conjunto de medida cero con respecto a la medida de Wiener.${\displaystyle B}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H\subset B}$

Lo que significa el ejemplo anterior es que tenemos una expresión formal para la medida de Wiener dada por

${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$

Aunque esta expresión formal sugiere que la medida de Wiener debería vivir en el espacio de caminos para los cuales , este no es realmente el caso. (Se sabe que los caminos brownianos no son diferenciables en ninguna parte con probabilidad uno). ${\displaystyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$

La construcción abstracta del espacio de Wiener de Gross abstrae la situación del espacio de Wiener clásico y proporciona una condición necesaria y suficiente (aunque a veces difícil de verificar) para que exista la medida gaussiana . Aunque la medida gaussiana vive más que , es la geometría de más que la que controla las propiedades de . Como dice el propio Gross ^[1] (adaptado a nuestra notación), "Sin embargo, solo se hizo evidente con el trabajo de IE Segal que trataba de la distribución normal en un espacio real de Hilbert, que el papel del espacio de Hilbert era realmente central, y que en lo que se refiere al análisis , el papel de${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$en sí mismo era auxiliar para muchos de los teoremas de Cameron y Martin, y en algunos casos incluso innecesario ". Una de las características atractivas de la construcción del espacio abstracto de Wiener de Gross es que toma como punto de partida y trata como un objeto auxiliar.${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$

Aunque las expresiones formales que aparecen anteriormente en esta sección son puramente formales, expresiones de estilo físico, son muy útiles para ayudar a comprender las propiedades de . En particular, se pueden usar fácilmente estas expresiones para derivar la fórmula (¡correcta!) Para la densidad de la medida traducida relativa a , para . (Consulte el teorema de Cameron-Martin ).${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle d\mu (b+h)}$${\displaystyle d\mu (b)}$${\displaystyle h\in H}$

Descripción matemática

Medida del conjunto de cilindros en ${\displaystyle H}$

Sea un espacio de Hilbert definido sobre los números reales, que se supone que es de dimensión infinita y separable. Un cilindro fijado en un conjunto definido en términos de los valores de un conjunto finito de funcionales lineales sobre . Específicamente, supongamos que son funcionales lineales continuas en y es un conjunto Borel en . Entonces podemos considerar el conjunto${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C=\left\{v\in H|(\phi _{1}(v),\ldots ,\phi _{n}(v))\in E\right\}.}$

Cualquier conjunto de este tipo se denomina conjunto de cilindros. La colección de todos los conjuntos de cilindros forma un álgebra de conjuntos en pero no es un -álgebra .${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma }$

Existe una forma natural de definir una "medida" en los juegos de cilindros, como sigue. Según el teorema de Riesz, los funcionales lineales se dan como el producto interno con vectores en . A la luz del procedimiento de Gram-Schmidt, es inofensivo suponer que son ortonormales. En ese caso, podemos asociar al cilindro definido anteriormente establecer la medida de con respecto a la medida estándar de Gauss en . Es decir, definimos${\displaystyle \phi _{1},\ldots \phi _{n}}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mu (C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathbb {R} ^{n}}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx,}$

¿Dónde está activada la medida estándar de Lebesgue ? Debido a la estructura del producto de la medida estándar gaussiana , no es difícil demostrar que está bien definida. Es decir, aunque el mismo conjunto se puede representar como un conjunto de cilindros en más de una forma, el valor de es siempre el mismo.${\displaystyle dx}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu (C)}$

Inexistencia de la medida en ${\displaystyle H}$

El conjunto funcional se denomina gaussiana estándar medida conjunto cilindro en . Suponiendo (como lo hacemos nosotros) que es de dimensión infinita, no se extiende a una medida aditiva contable en el -álgebra generada por la colección de conjuntos de cilindros en . Se puede entender lo difícil si se considera el comportamiento de la medida estándar gaussiana dada por${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx.}$

El valor esperado de la norma al cuadrado con respecto a esta medida se calcula como una integral gaussiana elemental como

${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.}$

Es decir, la distancia típica desde el origen de un vector elegido al azar de acuerdo con la medida estándar de Gauss en es Como tiende al infinito, esta distancia típica tiende al infinito, lo que indica que no hay una medida "estándar de Gauss" bien definida . (La distancia típica desde el origen sería infinita, por lo que la medida no viviría realmente en el espacio ).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Existencia de la medida el ${\displaystyle B}$

Ahora suponga que es un espacio de Banach separable y que es un mapa lineal continuo inyectivo cuya imagen es densa en . Entonces es inofensivo (y conveniente) identificarse con su imagen en el interior y, por lo tanto, considerarlo como un subconjunto denso de . Luego podemos construir una medida de conjunto de cilindros definiendo la medida de un conjunto de cilindros como la medida de conjunto de cilindros previamente definida , que es un conjunto de cilindros .${\displaystyle B}$${\displaystyle i:H\rightarrow B}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C\subset B}$${\displaystyle C\cap H}$${\displaystyle H}$

La idea de la construcción del espacio abstracto de Wiener es que si es lo suficientemente mayor que , entonces la medida del conjunto de cilindros activada , a diferencia de la medida del conjunto de cilindros activada , se extenderá a una medida aditiva contable en el álgebra generada . El artículo original de Gross ^[2] da una condición necesaria y suficiente para que este sea el caso. La medida de se llama medida gaussiana y el subespacio se llama espacio de Cameron-Martin . Es importante enfatizar que forma un conjunto de medida cero en su interior , enfatizando que la medida gaussiana vive solo y no sigue .${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H\subset B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$

El resultado de toda esta discusión es que las integrales gaussianas del tipo descrito en la sección de motivación tienen una interpretación matemática rigurosa, pero no viven en el espacio cuya norma ocurre en el exponente de la expresión formal. Más bien, viven en un espacio más grande.

Universalidad de la construcción

La construcción del espacio abstracto de Wiener no es simplemente un método para construir medidas gaussianas. Más bien, cada medida gaussiana en un espacio de Banach de dimensión infinita ocurre de esta manera. (Véase el teorema de la estructura para las medidas gaussianas .) Es decir, dada una medida gaussiana en un espacio de Banach separable de dimensión infinita (más ), se puede identificar un subespacio de Cameron-Martin , en cuyo punto el par se convierte en un espacio abstracto de Wiener y es la medida gaussiana asociada.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\subset B}$${\displaystyle (H,B)}$${\displaystyle \mu }$

Propiedades

• ${\displaystyle \mu }$es una medida de Borel : se define en la Borel σ-álgebra generada por los subconjuntos abiertos de B .
• ${\displaystyle \mu }$es una medida gaussiana en el sentido de que f _∗ ( ) es una medida gaussiana en R para cada funcional lineal f  ∈  B ^∗ , f  ≠ 0.${\displaystyle \mu }$
• Por tanto, es estrictamente positivo y localmente finito.${\displaystyle \mu }$
• El comportamiento de bajo traducción es descrito por el teorema de Cameron-Martin .${\displaystyle \mu }$
• Dados dos espacios abstractos de Wiener i ₁  :  H ₁  →  B ₁ e i ₂  :  H ₂  →  B ₂ , se puede demostrar eso . En su totalidad:${\displaystyle \gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$

${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),}$

es decir, la medida abstracta de Wiener sobre el producto cartesiano B ₁  ×  B ₂ es el producto de las medidas abstractas de Wiener sobre los dos factores B ₁ y B ₂ .${\displaystyle \mu _{12}}$

• Si H (y B ) son de dimensión infinita, entonces la imagen de H tiene medida cero . Este hecho es una consecuencia de la ley cero-uno de Kolmogorov .

Ejemplo: espacio clásico de Wiener

Artículo principal: espacio clásico Wiener

El ejemplo prototípico de un espacio abstracto de Wiener es el espacio de caminos continuos , y se conoce como espacio de Wiener clásico . Este es el espacio abstracto de Wiener en el que está dado por${\displaystyle H}$

${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}}$

con producto interior dado por

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t,}$

y es el espacio de mapas continuos de a que comienzan en 0, con la norma uniforme . En este caso, la medida gaussiana es la medida de Wiener , que describe el movimiento browniano en , comenzando desde el origen. ${\displaystyle B}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El resultado general que forma un conjunto de medida cero con respecto a en este caso refleja la rugosidad del camino browniano típico, que se sabe que no es diferenciable en ninguna parte . Esto contrasta con la supuesta diferenciabilidad de los caminos en .${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H}$

Ver también

• Teorema de estructura para medidas gaussianas
• No existe una medida de Lebesgue de dimensión infinita

Referencias

1. Bruto 1967 p. 31
2. Bruto 1967

• Bell, Denis R. (2006). El cálculo de Malliavin . Mineola, Nueva York: Dover Publications Inc. p. x + 113. ISBN 0-486-44994-7. Señor  2250060 . (Ver sección 1.1)
• Gross, Leonard (1967). "Espacios abstractos de Wiener". Proc. Quinto Simposio de Berkeley. Matemáticas. Estadístico. y probabilidad (Berkeley, California, 1965/66), vol. II: Contribuciones a la teoría de la probabilidad, parte 1 . Berkeley, California: Univ. Prensa de California. págs. 31–42. Señor  0212152 .
• Kuo, Hui-Hsiung (1975). Medidas gaussianas en espacios de Banach . Berlín – Nueva York: Springer. pag. 232. ISBN 978-1419645808.