En matemáticas , la medida del conjunto de cilindros (o medida , o premedida , o cuasi-medida , o CSM ) es una especie de prototipo para una medida en un espacio vectorial de dimensión infinita . Un ejemplo es la medida del conjunto de cilindros gaussianos en el espacio de Hilbert .
Las medidas del conjunto de cilindros en general no son medidas (y en particular no necesitan ser contablemente aditivas sino solo finitamente aditivas ), pero pueden usarse para definir medidas, como la medida clásica de Wiener en el conjunto de caminos continuos que comienzan en el origen en el espacio euclidiano .
Definición
Deje que E sea un separables , verdadera , espacio topológico vectorial . Dejardenota el conjunto de todos los sobreyectiva , lineal continua mapas T : E → F T define en E cuya imagen está un poco de espacio vectorial real de dimensión finita F T :
Una medida de conjunto de cilindros en E es una colección de medidas de probabilidad
donde μ T es una medida de probabilidad en F T . Estas medidas son necesarias para satisfacer la siguiente condición de coherencia: si π ST : F S → F T es una proyección sobreyectiva , entonces el avance de la medida es el siguiente:
Observaciones
La condición de consistencia
se basa en la forma en que las medidas reales avanzan (consulte la sección medidas del juego de cilindros frente a medidas reales ). Sin embargo, es importante entender que en el caso de las medidas del juego de cilindros, este es un requisito que forma parte de la definición, no un resultado.
A medida conjunto de cilindro puede entenderse intuitivamente como la definición de una función de un número finito de aditivo sobre los conjuntos de cilindros del espacio vectorial topológico E . Los conjuntos de cilindros son las preimágenes en E de conjuntos medibles en F T : sidenota la σ-álgebra en F T en la que se define μ T , entonces
En la práctica, a menudo se toma siendo el Borel σ -álgebra de F T . En este caso, se puede demostrar que cuando E es un espacio de Banach separable , la σ-álgebra generada por los conjuntos de cilindros es precisamente la σ -álgebra de Borel de E :
Medidas del juego de cilindros versus medidas
Una medida conjunto cilindro sobre E no es en realidad una medida de E : es un conjunto de medidas definidas en todas las imágenes de dimensión finita de E . Si E tiene una medida de probabilidad μ ya definido en él, entonces μ da lugar a una medida de conjunto de cilindro en E utilizando el empuje hacia adelante: Conjunto μ T = T * ( μ ) en F T .
Cuando hay una medida μ en E tal que μ T = T ∗ ( μ ) de esta manera, es costumbre abusar levemente de la notación y decir que el juego de cilindros mide"es" la medida μ .
Medidas del juego de cilindros en espacios Hilbert
Cuando el espacio de Banach E es en realidad un espacio de Hilbert H , hay una canónica medida conjunto cilindro Gaussian γ H derivada de la producto interno estructura en H . En concreto, si ⟨,⟩ denota el producto interno en H , dejar ⟨,⟩ T denota el producto interno cociente en F T . La medida γ T H en F T se define entonces como la medida canónica de Gauss en F T :
donde i : R dim ( F T ) → F T es una isometría de los espacios de Hilbert que lleva el producto interior euclidiano en R dim ( F T ) al producto interior ⟨,⟩ T en F T y γ n es la medida gaussiana estándar en R n .
La medida conjunto cilindro Gaussian canónica en un infinito-dimensional espacio de Hilbert separable H no corresponde a una medida real en H . La demostración es bastante simple: la bola de radio r (y centro 0) tiene una medida como máximo igual a la de la bola de radio r en un espacio de Hilbert n- dimensional, y esto tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Entonces la bola de radio r tiene medida 0; como el espacio de Hilbert es una unión contable de tales bolas, también tiene medida 0, lo cual es una contradicción.
Una prueba alternativa de que la medida del conjunto de cilindros gaussianos no es una medida utiliza el teorema de Cameron-Martin y un resultado sobre la casi invariancia de las medidas . Si γ H = γ realmente eran una medida, entonces la función de identidad en H sería radonify esa medida, con lo que id: H → H en un espacio de Wiener abstracta . Según el teorema de Cameron-Martin, γ sería entonces cuasi-invariante tras la traducción de cualquier elemento de H , lo que implica que H es de dimensión finita o que γ es la medida cero. En cualquier caso, tenemos una contradicción.
El teorema de Sazonov da las condiciones bajo las cuales el avance de una medida canónica de un conjunto de cilindros gaussianos puede convertirse en una medida verdadera.
Medidas del juego de cilindros y espacios nucleares
Una medida del conjunto de cilindros en el dual de un espacio Fréchet nuclear se extiende automáticamente a una medida si su transformada de Fourier es continua.
Ejemplo : Sea S el espacio de funciones de Schwartz en un espacio vectorial de dimensión finita; es nuclear. Está contenido en el espacio de Hilbert H de las funciones L 2 , que a su vez está contenido en el espacio de distribuciones templadas S ′, el dual del espacio nuclear de Fréchet S :
La medida del conjunto de cilindros gaussianos en H da una medida del conjunto de cilindros en el espacio de distribuciones templadas, que se extiende a una medida en el espacio de distribuciones templadas, S ′.
El espacio de Hilbert H tiene medir 0 en S ', por el primer argumento se ha usado anteriormente para mostrar que la medida conjunto cilindro Gaussian canónica en H no se extiende a una medida en H .
Ver también
- Σ-álgebra cilíndrica
Referencias
- IM Gel'fand, N.Ya. Vilenkin, Funciones generalizadas. Aplicaciones del análisis armónico , Vol 4, Acad. Prensa (1968)
- RA Minlos (2001) [1994], "medida cilíndrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- RA Minlos (2001) [1994], "conjunto de cilindros" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- L. Schwartz, medidas de radón .