En matemáticas , la medida gaussiana es una medida de Borel en el espacio euclidiano de dimensión finita R n , estrechamente relacionada con la distribución normal en estadística . También hay una generalización a espacios de dimensión infinita. Las medidas gaussianas llevan el nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . Una razón por la que las medidas gaussianas son tan omnipresentes en la teoría de la probabilidad es el teorema del límite central . Hablando libremente, establece que si una variable aleatoria X se obtiene sumando un gran número N de variables aleatorias independientes de orden 1, entonces X es de orden y su ley es aproximadamente gaussiana.
Definiciones
Sea n ∈ N y sea B 0 ( R n ) la finalización del σ -álgebra de Borel en R n . Sea λ n : B 0 ( R n ) → [0, + ∞] la medida habitual de Lebesgue n- dimensional . Entonces la medida estándar de Gauss γ n : B 0 ( R n ) → [0, 1] se define por
para cualquier conjunto medible A ∈ B 0 ( R n ). En términos de la derivada Radon-Nikodym ,
De manera más general, la medida gaussiana con media μ ∈ R n y varianza σ 2 > 0 viene dada por
Las medidas gaussianas con media μ = 0 se conocen como medidas gaussianas centradas .
La medida de Dirac δ μ es el límite débil decomo σ → 0, y se considera una medida gaussiana degenerada ; por el contrario, las medidas gaussianas con varianza finita distinta de cero se denominan medidas gaussianas no degeneradas .
Propiedades de la medida gaussiana
La medida gaussiana estándar γ n en R n
- es una medida de Borel (de hecho, como se señaló anteriormente, se define al completar el álgebra sigma de Borel, que es una estructura más fina);
- es equivalente a la medida de Lebesgue:, dónde representa la continuidad absoluta de las medidas;
- se apoya en todo el espacio euclidiano: supp ( γ n ) = R n ;
- es una medida de probabilidad ( γ n ( R n ) = 1), por lo que es localmente finito ;
- es estrictamente positivo : todo conjunto abierto no vacío tiene una medida positiva;
- es interno regular : para todos los conjuntos A de Borel ,
por lo que la medida gaussiana es una medida de radón ;
- no es traducción - invariante , pero satisface la relación
- donde la derivada en el lado izquierdo es la derivada Radon-Nikodym , y ( T h ) ∗ ( γ n ) es el avance de la medida gaussiana estándar por el mapa de traslación T h : R n → R n , T h ( x ) = x + h ;
- es la medida de probabilidad asociada a una distribución de probabilidad normal :
Medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita
Se puede demostrar que no existe un análogo de la medida de Lebesgue en un espacio vectorial de dimensión infinita . Aun así, es posible definir medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita, siendo el ejemplo principal la construcción del espacio abstracto de Wiener . Se dice que una medida de Borel γ en un espacio de Banach separable E es una medida gaussiana no degenerada (centrada) si, para cada funcional lineal L ∈ E ∗ excepto L = 0, la medida de avance L ∗ ( γ ) es una medida gaussiana no degenerada (centrada) en R en el sentido definido anteriormente.
Por ejemplo, la medida clásica de Wiener en el espacio de caminos continuos es una medida gaussiana.
Ver también
- Medida de Besov , una generalización de la medida gaussiana
- Teorema de Cameron-Martin