En las matemáticas , el teorema de Cameron-Martin o fórmula Cameron-Martin (el nombre de Robert Horton Cameron y WT Martin ) es un teorema de la teoría de la medida que describe cómo abstractos medida Wiener cambios bajo la traducción de ciertos elementos de la Cameron-Martin espacio de Hilbert .
Motivación
La medida gaussiana estándar γ n en el espacio euclidiano n- dimensional R n no es invariante en la traslación . (De hecho, hay una medida de radón invariante de traducción única a la escala del teorema de Haar : la medida de Lebesgue n- dimensional , denotada aquí dx .) En cambio, un subconjunto medible A tiene una medida gaussiana
Aquí se refiere al producto escalar euclidiano estándar en R n . La medida gaussiana de la traslación de A por un vector h ∈ R n es
Entonces , tras la traducción a través de h , la medida gaussiana se escala según la función de distribución que aparece en la última pantalla:
La medida que asocia al conjunto A el número γ n ( A - h ) es la medida de avance , denotada ( T h ) ∗ (γ n ). Aquí T h : R n → R n se refiere al mapa de traslación: T h ( x ) = x + h . El cálculo anterior muestra que la derivada Radon-Nikodym de la medida de avance con respecto a la medida gaussiana original viene dada por
La medida abstracta de Wiener γ en un espacio de Banach separable E , donde i : H → E es un espacio abstracto de Wiener, también es una "medida gaussiana" en un sentido adecuado. ¿Cómo cambia con la traducción? Resulta que una fórmula similar a la de arriba se mantiene si se consideran únicamente las traducciones realizadas por elementos de la densa subespacio i ( H ) ⊆ E .
Declaración del teorema
Sea i : H → E un espacio de Wiener abstracto con una medida de Wiener abstracta γ : Borel ( E ) → [0, 1]. Para h ∈ H , defina T h : E → E por T h ( x ) = x + i ( h ). Entonces ( T h ) ∗ (γ) es equivalente a γ con la derivada Radon-Nikodym
dónde
denota la integral de Paley-Wiener .
La fórmula Cameron-Martin es válida sólo para traducciones por elementos del subespacio denso i ( H ) ⊆ E , llamado espacio Cameron-Martin , y no por elementos arbitrarios de E . Si la fórmula de Cameron-Martin se cumpliera para traducciones arbitrarias, contradeciría el siguiente resultado:
- Si E es un espacio de Banach separable y μ es una medida de Borel localmente finita en E que es equivalente a su propio avance bajo cualquier traslación, entonces E tiene una dimensión finita o μ es la medida trivial (cero) . (Ver medida cuasi-invariante ).
De hecho, γ es casi invariante tras la traducción de un elemento v si y solo si v ∈ i ( H ). Los vectores en i ( H ) a veces se conocen como direcciones de Cameron-Martin .
Integración por partes
La fórmula de Cameron-Martin da lugar a una fórmula de integración por partes en E : si F : E → R tiene derivada de Fréchet acotada D F : E → Lin ( E ; R ) = E ∗ , integrando la fórmula de Cameron-Martin con respecto a La medida de la salchicha en ambos lados da
para cualquier t ∈ R . Diferenciar formalmente con respecto a t y evaluar en t = 0 da la fórmula de integración por partes
La comparación con el teorema de divergencia del cálculo vectorial sugiere
donde V h : E → E es la constante de " campo de vector " V h ( x ) = i ( h ) para todo x ∈ E . El deseo de considerar campos vectoriales más generales y pensar en las integrales estocásticas como "divergencias" conduce al estudio de los procesos estocásticos y al cálculo de Malliavin y, en particular, al teorema de Clark-Ocone y su fórmula de integración por partes asociada.
Una aplicación
Usando el teorema de Cameron-Martin se puede establecer (ver Liptser y Shiryayev 1977, p. 280) que para una matriz definida no negativa simétrica q × q H ( t ) cuyos elementos H j, k ( t ) son continuos y satisfacen la condición
es válido para un proceso de Wiener q −dimensional w ( t ) que
donde G ( t ) es una matriz definida no positiva q × q que es una solución única de la ecuación diferencial de Riccati con valores matriciales
Ver también
Referencias
- Cameron, RH; Martin, WT (1944). "Transformaciones de Integrales de Wiener bajo Traducciones". Annals of Mathematics . 45 (2): 386–396. doi : 10.2307 / 1969276 . JSTOR 1969276 .
- Liptser, RS; Shiryayev, AN (1977). Estadística de procesos aleatorios I: Teoría general . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90226-0.