El valor presente actuarial ( APV ) es el valor esperado de la valor actual de un contingente flujo de caja corriente (es decir, una serie de pagos que puede o no puede estar hecho). Los valores actuales actuariales se calculan típicamente para el pago de beneficios o series de pagos asociados con seguros de vida y rentas vitalicias . La probabilidad de un pago futuro se basa en suposiciones sobre la mortalidad futura de la persona, que generalmente se estima mediante una tabla de vida.
Seguro de vida
El seguro de vida completa paga un beneficio predeterminado ya sea en el momento del fallecimiento del asegurado o poco después. El símbolo (x) se utiliza para denotar "una vida de edad x ", donde x es un parámetro no aleatorio que se supone mayor que cero. El valor presente actuarial de una unidad de seguro de vida integral emitido hasta (x) se indica con el símbolo o en notación actuarial . Sea G> 0 (la "edad al morir") la variable aleatoria que modela la edad a la que un individuo, como (x) , morirá. Y sea T (la variable aleatoria de vida futura) el tiempo transcurrido entre la edad- x y la edad (x) en el momento en que se paga el beneficio (aunque (x) probablemente haya muerto en ese momento). Dado que T es una función de G y x, escribiremos T = T (G, x) . Por último, vamos a Z la variable aleatoria de valor presente de un beneficio de seguro de vida entera de 1 abona en el momento t . Luego:
donde i es la tasa de interés anual efectiva y δ es la fuerza de interés equivalente .
Para determinar el valor presente actuarial del beneficio, necesitamos calcular el valor esperado de esta variable aleatoria Z . Suponga que el beneficio por fallecimiento se paga al final del año del fallecimiento. Entonces T (G, x): = techo (G - x) es el número de "años completos" (redondeados hacia arriba) vividos por (x) más allá de la edad x , de modo que el valor presente actuarial de una unidad de seguro está dado por :
dónde es la probabilidad de que (x) sobreviva hasta la edad x + t , yes la probabilidad de que (x + t) muera en un año.
Si el beneficio es pagadero en el momento de la muerte, entonces T (G, x): = G - x y el valor presente actuarial de una unidad de seguro de vida completo se calcula como
dónde es la función de densidad de probabilidad de T , es la probabilidad de una edad de por vida sobrevivir a la edad y denota la fuerza de la mortalidad en el momento por una vida envejecida .
El valor presente actuarial de una unidad de un n póliza de seguro temporal -Año abona en el momento de la muerte se puede encontrar de manera similar mediante la integración de 0 a n .
El valor presente actuarial de un beneficio de seguro patrimonial puro de n años de 1 pagadero después de n años si está vivo, se puede encontrar como
En la práctica, la información disponible sobre la variable aleatoria G (y, a su vez, T ) puede extraerse de tablas de vida, que dan cifras por año. Por ejemplo, un seguro de vida a término de tres años de $ 100,000 pagaderos al final del año de la muerte tiene un valor presente actuarial
Por ejemplo, suponga que hay un 90% de posibilidades de que un individuo sobreviva en un año determinado (es decir, T tiene una distribución geométrica con el parámetro p = 0,9 y el conjunto {1, 2, 3, ...} como soporte). Luego
y a una tasa de interés del 6%, el valor actual actuarial de una unidad del seguro a tres años es
por lo que el valor presente actuarial del seguro de $ 100.000 es $ 24.244,85.
En la práctica, el beneficio puede pagarse al final de un período inferior a un año, lo que requiere un ajuste de la fórmula.
Renta vitalicia
El valor presente actuarial de una renta vitalicia de 1 anual pagado de forma continua se puede encontrar de dos formas:
Técnica de pago agregado (tomando el valor esperado del valor presente total ):
Es similar al método de una póliza de seguro de vida. Esta vez, la variable aleatoria Y es la variable aleatoria de valor presente total de una anualidad de 1 anual, emitida a una vida de x , pagada continuamente mientras la persona esté viva, y está dada por:
donde T = T (x) es la variable aleatoria de por vida futura para una persona de edad x . El valor esperado de Y es:
Técnica de pago actual (tomando el valor presente total de la función del tiempo que representa los valores esperados de los pagos):
donde F ( t ) es la función de distribución acumulativa de azar la variable T .
La equivalencia se sigue también de la integración por partes.
En la práctica, las rentas vitalicias no se pagan de forma continua. Si los pagos se realizan al final de cada período, el valor presente actuarial viene dado por
Manteniendo el pago total por año igual a 1, cuanto más largo sea el período, menor será el valor presente debido a dos efectos:
- Los pagos se realizan en promedio medio período más tarde que en el caso continuo.
- No hay pago proporcional por el tiempo en el período de la muerte, es decir, una "pérdida" de pago durante un promedio de medio período.
Por el contrario, para los contratos que cuestan una suma global igual y tienen la misma tasa interna de rendimiento , cuanto más largo sea el período entre pagos, mayor será el pago total por año.
Seguro de vida en función de la renta vitalicia
El APV del seguro de vida total se puede derivar del APV de una renta vitalicia, debido de esta manera:
Esto también se escribe comúnmente como:
En el caso continuo,
En el caso de que la anualidad y el seguro de vida no sean de por vida, se debe reemplazar la garantía por una garantía de dotación de n años (que puede expresarse como la suma de una garantía de plazo de n años y una dotación pura de n años), y la anualidad con una anualidad vencida de n años.
Ver también
Referencias
- Matemáticas actuariales (segunda edición), 1997, por Bowers, NL, Gerber, HU, Hickman, JC, Jones, DA y Nesbitt, CJ, Capítulo 4-5
- Modelos para cuantificar el riesgo (cuarta edición), 2011, por Robin J. Cunningham, Thomas N. Herzog, Richard L. London, capítulo 7-8