La cuadratura adaptativa es un método de integración numérica en el que la integral de una función se aproxima usando reglas de cuadratura estáticas en subintervalos refinados adaptativamente de la región de integración. Generalmente, los algoritmos adaptativos son tan eficientes y efectivos como los algoritmos tradicionales para integrandos de "buen comportamiento", pero también son efectivos para integrandos de "mal comportamiento" en los que los algoritmos tradicionales pueden fallar.
Esquema general
La cuadratura adaptativa sigue el esquema general
1. procedimiento integrar (f, a, b, )2.
3. 4. si luego5. m = (a + b) / 26. Q = integrar (f, a, m, / 2) + integrar (f, m, b, / 2)7. endif 8. return Q
Una aproximación a la integral de durante el intervalo se calcula (línea 2), así como una estimación de error (línea 3). Si el error estimado es mayor que la tolerancia requerida(línea 4), el intervalo se subdivide (línea 5) y la cuadratura se aplica en ambas mitades por separado (línea 6). Se devuelve la estimación inicial o la suma de las mitades calculadas de forma recursiva (línea 7).
Los componentes importantes son la regla de cuadratura en sí
el estimador de errores
y la lógica para decidir qué intervalo subdividir y cuándo terminar.
Hay varias variantes de este esquema. Los más comunes se discutirán más adelante.
Reglas básicas
Las reglas de cuadratura generalmente tienen la forma
donde los nodos y pesos generalmente se calculan previamente.
En el caso más simple, se utilizan fórmulas de Newton-Cotes de grado par, donde los nodos están espaciados uniformemente en el intervalo:
- .
Cuando se utilizan tales reglas, los puntos en los que se ha evaluado se puede reutilizar tras la recursividad:
Se utiliza una estrategia similar con la cuadratura de Clenshaw-Curtis , donde los nodos se eligen como
- .
O, cuando se usa la cuadratura de Fejér ,
- .
También se pueden utilizar otras reglas de cuadratura, como la cuadratura gaussiana o la cuadratura Gauss-Kronrod .
Un algoritmo puede optar por utilizar diferentes métodos de cuadratura en diferentes subintervalos, por ejemplo, utilizando un método de orden superior solo cuando el integrando es suave.
Estimación de errores
Algunos algoritmos de cuadratura generan una secuencia de resultados que deberían aproximarse al valor correcto. De lo contrario, se puede usar una "regla nula" que tiene la forma de la regla de cuadratura anterior, pero cuyo valor sería cero para un integrando simple (por ejemplo, si el integrando fuera un polinomio del grado apropiado).
Ver:
- Extrapolación de Richardson (véase también el método de Romberg )
- Reglas nulas
- Algoritmo Epsilon
Lógica de subdivisión
La cuadratura adaptativa "local" hace que el error aceptable para un intervalo dado sea proporcional a la longitud de ese intervalo. Este criterio puede ser difícil de satisfacer si los integrandos se comportan mal en solo unos pocos puntos, por ejemplo, con algunas discontinuidades de pasos. Alternativamente, se podría requerir solo que la suma de los errores en cada uno de los subintervalos sea menor que el requerimiento del usuario. Esta sería una cuadratura adaptativa "global". La cuadratura adaptativa global puede ser más eficiente (usando menos evaluaciones del integrando) pero generalmente es más compleja de programar y puede requerir más espacio de trabajo para registrar información sobre el conjunto actual de intervalos.
Ver también
- Diferenciación numérica adaptativa
- Tamaño de paso adaptativo en ODE
- El método adaptativo de Simpson para un ejemplo de cuadratura adaptativa
- QUADPACK , una biblioteca de FORTRAN que utiliza cuadratura adaptativa global
Notas
Referencias
- McKeeman, William (diciembre de 1962). Gotlieb, Calvin (ed.). "Algoritmo 145: integración numérica adaptativa por regla de Simpson". Comunicaciones de la ACM (Periódica). Nueva York : ACM . 5 (12): 604–605. doi : 10.1145 / 355580.369102 . eISSN 1557-7317 . ISSN 0001-0782 . OCLC 1011805770 .
- John R. Rice. Un metalgoritmo para cuadratura adaptativa. Journal of the ACM 22 (1) págs. 61-82 (enero de 1975).
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 4.7. Cuadratura adaptativa" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8