En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una relación de equivalencia adecuada es una relación de equivalencia en ciclos algebraicos de variedades proyectivas suaves que se usa para obtener una teoría que funcione bien de tales ciclos y, en particular, productos de intersección bien definidos . Pierre Samuel formalizó el concepto de una relación de equivalencia adecuada en 1958. [1] Desde entonces se ha convertido en un elemento central de la teoría de los motivos. Para cada relación de equivalencia adecuada, se puede definir la categoría de motivos puros con respecto a esa relación.
Las posibles (y útiles) relaciones de equivalencia adecuadas incluyen equivalencia racional , algebraica , homológica y numérica . Se llaman "adecuada" porque dividiendo por la relación de equivalencia es funtorial , es decir, empuje hacia delante (con cambio de codimensión) y pull-back de ciclos está bien definido. Los ciclos de codimensión 1 módulo de equivalencia racional forman el grupo clásico de divisores . Todos los ciclos de equivalencia módulo racional forman el anillo de Chow .
Definición
Deje que Z * ( X ): = Z [ X ] ser el grupo abeliano libre en los ciclos algebraicas de X . Entonces, una relación de equivalencia adecuada es una familia de relaciones de equivalencia , ∼ X en Z * ( X ), una para cada variedad proyectiva suave X , que satisface las siguientes tres condiciones:
- (Linealidad) La relación de equivalencia es compatible con la suma de ciclos.
- ( Lema móvil ) Sison ciclos en X , entonces existe un ciclo tal que ~ X y se cruza adecuadamente.
- (Empujar hacia adelante) Deje y ser ciclos tales que se cruza adecuadamente. Si ~ X 0, entonces ~ Y 0, donde es la proyección.
El ciclo de avance en el último axioma a menudo se denota
Si es el gráfico de una función , entonces esto se reduce al avance de la función. Las generalizaciones de funciones de X a Y a ciclos en X × Y se conocen como correspondencias . El último axioma nos permite impulsar los ciclos mediante una correspondencia.
Ejemplos de relaciones de equivalencia
Las relaciones de equivalencia más comunes, enumeradas de la más fuerte a la más débil, se recopilan en la siguiente tabla.
definición | comentarios | |
---|---|---|
equivalencia racional | Z ∼ rata Z ' si hay un ciclo V en X × P 1 plano sobre P 1 , tal que [ V ∩ X × {0}] - [ V ∩ X × {∞}] = [ Z ] - [ Z' ]. | la relación de equivalencia adecuada más fina (Lema 3.2.2.1 en el libro de Yves André [2] ) "∩" denota intersección en el sentido de la teoría del ciclo (es decir, con multiplicidades) y [ . ] denota el ciclo asociado a un subesquema. ver también anillo de Chow |
equivalencia algebraica | Z ∼ alg Z ′ si hay una curva C y un ciclo V en X × C plano sobre C , tal que [ V ∩ X × { c }] - [ V ∩ X × { d }] = [ Z ] - [ Z' ] por dos puntos c y d en la curva. | Estrictamente más fuerte que la equivalencia homológica, medida por el grupo de Griffiths . Véase también el grupo Néron-Severi . |
equivalencia aplastar-nilpotencia | Z ∼ sn Z ′ si Z - Z ′ es aplastante-nilpotente en X , es decir, si ∼ rata 0 en X n para n >> 0. | introducido por Voevodsky en 1995. [3] |
equivalencia homológica | para una cohomología de Weil dada H , Z ∼ hom Z ′ si la imagen de los ciclos bajo el mapa de clases de ciclos concuerda | depende a priori de la elección de H , sin asumir la conjetura estándar D |
equivalencia numérica | Z ∼ num Z ′ si deg ( Z ∩ T ) = deg ( Z ′ ∩ T ), donde T es cualquier ciclo tal que dim T = codim Z (La intersección es una combinación lineal de puntos y sumamos las multiplicidades de intersección en cada punto para obtener el título.) | la relación de equivalencia más burda (ejercicio 3.2.7.2 del libro de Yves André [4] ) |
Notas
- ^ Samuel, Pierre (1958), "Relations d'équivalence en géométrie algébrique" (PDF) , Proc. ICM , Universidad de Cambridge. Prensa: 470-487, Archivado desde el original (PDF) en 07/22/2017 , recuperado 07/22/2015
- ^ André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs seek, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , París: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000
- ^ Voevodsky, V. (1995), "Un teorema de nilpotencia para ciclos algebraicamente equivalentes a 0", Int. Matemáticas. Res. Avisos , 4 : 1–12
- ^ André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs seek, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , París: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000
Referencias
- Kleiman, Steven L. (1972), "Motives", en Oort, F. (ed.), Geometría algebraica, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff , págs. 53–82, MR 0382267
- Jannsen, U. (2000), "Relaciones de equivalencia en ciclos algebraicos", La aritmética y geometría de los ciclos algebraicos, OTAN, 200 , Kluwer Ac. Publ. Co .: 225–260