En matemáticas , las conjeturas estándar sobre los ciclos algebraicos son varias conjeturas que describen la relación de los ciclos algebraicos y las teorías de cohomología de Weil . Una de las aplicaciones originales de estas conjeturas, prevista por Alexander Grothendieck , fue demostrar que su construcción de motivos puros daba una categoría abeliana que es semisimple . Además, como señaló, las conjeturas estándar también implican la parte más difícil de las conjeturas de Weil , a saber, la conjetura de la "hipótesis de Riemann" que permaneció abierta a fines de la década de 1960 y fue probada más tarde porPierre Deligne ; para más detalles sobre el vínculo entre Weil y las conjeturas estándar, véase Kleiman (1968) . Las conjeturas estándar siguen siendo problemas abiertos, de modo que su aplicación solo proporciona pruebas condicionales de resultados. En bastantes casos, incluido el de las conjeturas de Weil, se han encontrado otros métodos para probar incondicionalmente tales resultados.
Las formulaciones clásicas de las conjeturas estándar implican un fijo Weil teoría cohomology H . Todas las conjeturas tratan de clases de cohomología "algebraica", lo que significa un morfismo en la cohomología de una variedad proyectiva suave.
- H ∗ ( X ) → H ∗ ( X )
inducida por un ciclo algebraico con coeficientes racionales en el producto X × X a través del mapa de clases de ciclo , que es parte de la estructura de una teoría de cohomología de Weil.
La conjetura A es equivalente a la conjetura B (véase Grothendieck (1969) , p. 196), por lo que no figura en la lista.
Conjetura estándar tipo Lefschetz (Conjetura B)
Uno de los axiomas de una teoría de Weil es el llamado teorema (o axioma) rígido de Lefschetz :
Comience con una sección fija de hiperplano suave
- W = H ∩ X ,
donde X es una variedad proyectiva suave dada en el espacio proyectivo ambiental P N y H es un hiperplano. Entonces para i ≤ n = dim ( X ) , el operador de Lefschetz
- L : H yo ( X ) → H yo +2 ( X ) ,
que se define mediante la intersección de clases de cohomología con W , da un isomorfismo
- L norte - yo : H yo ( X ) → H 2 norte - yo ( X ) .
Ahora, para i ≤ n defina:
- Λ = ( L norte - yo +2 ) −1 ∘ L ∘ ( L norte - yo ): H yo ( X ) → H yo −2 ( X )
- Λ = ( L norte - yo ) ∘ L ∘ ( L norte - yo +2 ) −1 : H 2 norte - yo +2 ( X ) → H 2 norte - yo ( X )
La conjetura establece que el operador de Lefschetz ( Λ ) es inducido por un ciclo algebraico.
Conjetura estándar tipo Künneth (Conjetura C)
Se conjetura que los proyectores
- H ∗ ( X ) ↠ H yo ( X ) ↣ H ∗ ( X )
son algebraicos, es decir, inducidos por un ciclo π i ⊂ X × X con coeficientes racionales. Esto implica que el motivo de cualquier variedad proyectiva suave (y más generalmente, todo motivo puro ) se descompone como
Los motivos y siempre se puede dividir como sumandos directos. Por tanto, la conjetura se aplica inmediatamente a las curvas. Murre (1990) lo demostró para superficies . Katz y Messing (1974) han utilizado las conjeturas de Weil para mostrar la conjetura de las variedades algebraicas definidas sobre campos finitos, en dimensión arbitraria.
Šermenev (1974) demostró la descomposición Künneth para las variedades abeliano A . Deninger y Murre (1991) refinaron este resultado al exhibir una descomposición funcional de Künneth del motivo Chow de A tal que la n -multiplicación en la variedad abeliana actúa comoen el i -ésimo summand. de Cataldo & Migliorini (2002) demostraron la descomposición de Künneth para el esquema de Hilbert de puntos en una superficie lisa.
Conjetura D (equivalencia numérica frente a equivalencia homológica)
La conjetura D establece que la equivalencia numérica y homológica concuerdan. (Implica, en particular, que esto último no depende de la elección de la teoría de la cohomología de Weil). Esta conjetura implica la conjetura de Lefschetz. Si se cumple la conjetura estándar de Hodge, entonces la conjetura de Lefschetz y la conjetura D son equivalentes.
Lieberman mostró esta conjetura para variedades de dimensión 4 como máximo y para variedades abelianas . [1]
La conjetura estándar de Hodge
La conjetura estándar de Hodge se basa en el teorema del índice de Hodge . Establece la definición (positiva o negativa, según la dimensión) del emparejamiento de productos de taza en clases de cohomología algebraica primitiva. Si se cumple, entonces la conjetura de Lefschetz implica la conjetura D. En la característica cero se cumple la conjetura estándar de Hodge, que es una consecuencia de la teoría de Hodge . En característica positiva, se conoce la conjetura estándar de Hodge para superficies ( Grothendieck (1958) ) y para variedades abelianas de dimensión 4 ( Ancona (2020) ).
La conjetura estándar de Hodge no debe confundirse con la conjetura de Hodge que establece que para variedades proyectivas suaves sobre C , toda clase racional ( p , p ) es algebraica. La conjetura de Hodge implica las conjeturas de Lefschetz y Künneth y la conjetura D para variedades sobre campos de característica cero. La conjetura de Tate implica a Lefschetz, Künneth y la conjetura D para la cohomología ℓ-ádica en todos los campos.
Propiedades de permanencia de las conjeturas estándar
Durante dos variedades algebraicas X y Y , Arapura (2006) ha introducido una condición que Y está motivado por X . La condición precisa es que el motivo de Y sea (en la categoría de motivos de André) expresable a partir del motivo de X mediante sumas, sumandos y productos. Por ejemplo, Y está motivado si hay un morfismo sobreyectivo. [2] Si Y no se encuentra en la categoría, no está motivado en ese contexto. Para las variedades algebraicas complejas proyectivas suaves X e Y , tales que Y está motivada por X , las conjeturas estándar D (equivalencia homológica es igual a numérica), B (Lefschetz), la conjetura de Hodge y también la conjetura de Hodge generalizada son válidas para Y si son válidas para todos los poderes de X . [3] Este hecho se puede aplicar para mostrar, por ejemplo, la conjetura de Lefschetz para el esquema de Hilbert de puntos en una superficie algebraica .
Relación con otras conjeturas
Beilinson (2012) ha demostrado que la existencia (conjetural) de la denominada estructura t motívica en la categoría triangulada de motivos implica las conjeturas estándar B y C de Lefschetz y Künneth.
Referencias
- ^ Lieberman, David I. (1968), "Equivalencia numérica y homológica de ciclos algebraicos en variedades de Hodge", Amer. J. Math. , 90 (2): 366–374, doi : 10.2307 / 2373533 , JSTOR 2373533
- ↑ Arapura (2006 , Cor. 1.2)
- ↑ Arapura (2006 , Lema 4.2)
- Ancona, Giuseppe (2020), "Conjeturas estándar para cuádruples abelianos", Invent. Matemáticas. , arXiv : 1806.03216 , doi : 10.1007 / s00222-020-00990-7 , S2CID 119579196
- Arapura, Donu (2006), "Motivación para los ciclos de Hodge", Advances in Mathematics , 207 (2): 762–781, arXiv : math / 0501348 , doi : 10.1016 / j.aim.2006.01.005 , MR 2271985 , S2CID 13897239
- Beilinson, A. (2012), "Observaciones sobre las conjeturas estándar de Grothendieck", Regulators , Contemp. Math., 571 , Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, págs. 25–32, arXiv : 1006.1116 , doi : 10.1090 / conm / 571/11319 , ISBN 9780821853221, MR 2953406 , S2CID 119687821
- de Cataldo, Mark Andrea A .; Migliorini, Luca (2002), "Los grupos de Chow y el motivo del esquema de Hilbert de puntos en una superficie", Journal of Algebra , 251 (2): 824–848, arXiv : math / 0005249 , doi : 10.1006 / jabr. 2001.9105 , MR 1919155 , S2CID 16431761
- Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), "Descomposición motívica de esquemas abelianos y la transformada de Fourier", J. Reine Angew. Matemáticas. , 422 : 201–219, MR 1133323
- Grothendieck, A. (1969), "Conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos", Geometría algebraica (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) (PDF) , Oxford University Press, págs. 193-199, Señor 0268189.
- Grothendieck, A. (1958), "Sur une note de Mattuck-Tate", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1958 (200): 208–215, doi : 10.1515 / crll.1958.200.208 , MR 0136607 , S2CID 115548848
- Katz, Nicholas M .; Messing, William (1974), "Algunas consecuencias de la hipótesis de Riemann para variedades sobre campos finitos", Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23 ... 73K , doi : 10.1007 / BF01405203 , MR 0332791 , S2CID 121989640
- Kleiman, Steven L. (1968), "Los ciclos algebraicos y las conjeturas de Weil", Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, págs. 359–386, MR 0292838.
- Murre, JP (1990), "Sobre el motivo de una superficie algebraica", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1990 (409): 190–204, doi : 10.1515 / crll.1990.409.190 , MR 1061525 , S2CID 117483201
- Kleiman, Steven L. (1994), "Las conjeturas estándar", Motives (Seattle, WA, 1991) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 55 , American Mathematical Society, págs. 3-20, MR 1265519.
- Šermenev, AM (1974), "Motivo de una variedad abeliana", Funckcional. Anal. I Priložen , 8 (1): 55–61, MR 0335523
enlaces externos
- Progreso en las conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos