Representación adjunta

En matemáticas , la representación adjunta (o acción adjunta ) de un grupo de Lie G es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo , considerada como un espacio vectorial . Por ejemplo, si G es , el grupo de Lie de bienes n -by- n matrices invertibles , entonces la representación adjunta es el homomorfismo grupo que envía una invertible n -by- n matriz a una endomorphism del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de ${\ Displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ definida por: . ${\ displaystyle x \ mapsto gxg ^ {- 1}}$

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de G sobre sí mismo por conjugación . La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios .

ser el mapeo $g \mapsto Ψ g$ , con Aut ( G ) el grupo de automorfismo de G y $Ψ g : G \to G$ dado por el automorfismo interno (conjugación)

donde $d$ es el diferencial y es el espacio tangente en el origen $e$ ( siendo $e$ el elemento de identidad del grupo $G$ ). Dado que es un automorfismo de grupo de Lie, Ad _g es un automorfismo de álgebra de Lie; es decir, una transformación lineal invertible de sí mismo que conserva el corchete de Lie . Además, dado que es un homomorfismo de grupo, también es un homomorfismo de grupo. ^[1] Por lo tanto, el mapa ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {g}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle g \ mapsto \ Psi _ {g}}$ ${\ displaystyle g \ mapsto \ operatorname {Ad} _ {g}}$