Transformada z avanzada

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada z avanzada es una extensión de la transformada z , para incorporar retardos ideales que no son múltiplos del tiempo de muestreo . Toma la forma

${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}$

dónde

• T es el período de muestreo
• m (el "parámetro de retraso") es una fracción del período de muestreo${\displaystyle [0,T].}$

También se conoce como transformada z modificada .

La transformada z avanzada se aplica ampliamente, por ejemplo, para modelar con precisión los retrasos de procesamiento en el control digital .

Propiedades

Si el parámetro de retardo, m , se considera fijo, entonces todas las propiedades de la transformada z se mantienen para la transformada z avanzada.

Linealidad

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).}$

Time shift

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}$

Amortiguación

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}$

Multiplicación de tiempo

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}$

Teorema del valor final

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).}$

Ejemplo

Considere el siguiente ejemplo donde :${\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{aligned}}}$

Si luego se reduce a la transformación${\displaystyle m=0}$${\displaystyle F(z,m)}$

${\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},}$

que es claramente solo la transformación z de .${\displaystyle f(t)}$

Referencias

• Jurado de Eliahu Ibraham , Teoría y aplicación del método de transformación z , Krieger Pub Co, 1973. ISBN  0-88275-122-0 .