En matemáticas , la transformada de Laplace inversa de una función F ( s ) es la función real f ( t ) continua a trozos y restringida exponencialmente que tiene la propiedad:
dónde denota la transformada de Laplace .
Se puede probar que, si una función F ( s ) tiene la transformada de Laplace inversa f ( t ), entonces f ( t ) se determina de forma única (considerando funciones que difieren entre sí solo en un conjunto de puntos que tiene la medida de Lebesgue cero como mismo). Este resultado fue probado por primera vez por Mathias Lerch en 1903 y se conoce como teorema de Lerch. [1] [2]
La transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa juntas tienen una serie de propiedades que las hacen útiles para analizar sistemas dinámicos lineales .
Fórmula inversa de Mellin
Una fórmula integral para la inversa transformada de Laplace , llamada la fórmula inversa de Mellin , la Bromwich integral , o la de Fourier - Mellin integral , está dada por la integral de línea :
donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re ( s ) = γ en el plano complejo de manera que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de F ( s ) y F ( s ) está acotada en la línea, por ejemplo si La trayectoria del contorno se encuentra en la región de convergencia . Si todas las singularidades están en el semiplano izquierdo, o F ( s ) es una función completa , entonces γ se puede establecer en cero y la fórmula integral inversa anterior se vuelve idéntica a la transformada inversa de Fourier .
En la práctica, se puede calcular la integral compleja utilizando el teorema del residuo de Cauchy .
Fórmula de inversión de la publicación
La fórmula de inversión de Post para las transformadas de Laplace , que lleva el nombre de Emil Post , [3] es una fórmula de apariencia simple pero generalmente poco práctica para evaluar una transformada de Laplace inversa .
El enunciado de la fórmula es el siguiente: Sea f ( t ) una función continua en el intervalo [0, ∞) de orden exponencial, es decir
por algún número real b . Entonces, para todo s > b , la transformada de Laplace para f ( t ) existe y es infinitamente diferenciable con respecto a s . Además, si F ( s ) es la transformada de Laplace de f ( t ), entonces la transformada de Laplace inversa de F ( s ) viene dada por
para t > 0, donde F ( k ) es la k -ésima derivada de F con respecto a s .
Como puede verse en la fórmula, la necesidad de evaluar derivadas de órdenes arbitrariamente altas hace que esta fórmula no sea práctica para la mayoría de los propósitos.
Con el advenimiento de las poderosas computadoras personales, los principales esfuerzos para utilizar esta fórmula han venido de tratar con aproximaciones o análisis asintóticos de la transformada inversa de Laplace, utilizando la diferencia integral de Grunwald-Letnikov para evaluar las derivadas.
La inversión de Post ha atraído interés debido a la mejora en la ciencia computacional y al hecho de que no es necesario saber dónde se encuentran los polos de F ( s ), lo que permite calcular el comportamiento asintótico para x grande utilizando transformadas de Mellin inversas para varios funciones aritméticas relacionadas con la hipótesis de Riemann .
Herramientas de software
- InverseLaplaceTransform realiza transformaciones inversas simbólicas en Mathematica
- Inversión numérica de la transformada de Laplace con precisión múltiple El uso del dominio complejo en Mathematica da soluciones numéricas [4]
- ilaplace realiza transformaciones inversas simbólicas en MATLAB
- Inversión numérica de transformadas de Laplace en Matlab
- Inversión numérica de transformadas de Laplace basadas en funciones matriciales exponenciales concentradas en Matlab
Ver también
Referencias
- ^ Cohen, AM (2007). "Fórmulas de inversión y resultados prácticos". Métodos numéricos para la inversión por transformada de Laplace . Métodos numéricos y algoritmos. 5 . pag. 23. doi : 10.1007 / 978-0-387-68855-8_2 . ISBN 978-0-387-28261-9.
- ^ Lerch, M. (1903). "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel" . Acta Mathematica . 27 : 339. doi : 10.1007 / BF02421315 .
- ^ Correo, Emil L. (1930). "Diferenciación generalizada" . Transacciones de la American Mathematical Society . 32 (4): 723–723. doi : 10.1090 / S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN 0002-9947 .
- ^ Abate, J .; Valkó, PP (2004). "Inversión por transformada de Laplace de precisión múltiple". Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería . 60 (5): 979. doi : 10.1002 / nme.995 .
Otras lecturas
- Davies, BJ (2002), Transformaciones integrales y sus aplicaciones (3a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95314-4
- Manzhirov, AV; Polyanin, Andrei D. (1998), Manual de ecuaciones integrales , Londres: CRC Press , ISBN 978-0-8493-2876-3
- Boas, Mary (1983), Métodos matemáticos en las ciencias físicas , John Wiley & Sons , p. 662 , ISBN 0-471-04409-1 (p. 662 o busque en el índice "Bromwich Integral", una buena explicación que muestra la conexión con la transformada de Fourier)
- Widder, DV (1946), La Transformada de Laplace , Princeton University Press
- Inversión elemental de la transformada de Laplace . Bryan, Kurt. Consultado el 14 de junio de 2006.
enlaces externos
- Tablas de transformaciones integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
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