En la teoría de juegos , un juego de agregación es un juego en el que la recompensa de cada jugador es una función de la propia estrategia del jugador y la suma de las estrategias de todos los jugadores. El concepto fue propuesto por primera vez por el premio Nobel Reinhard Selten en 1970, quien consideró el caso en el que el agregado es la suma de las estrategias de los jugadores.
Definición
Considere un juego estándar no cooperativo con n jugadores, dondees el conjunto de estrategias del jugador i , es el conjunto de estrategias conjuntas, y es la función de pago del jugador i . Entonces, el juego se denomina juego agregado si para cada jugador i existe una función tal que para todos :
En palabras, las funciones de pago en juegos agregados dependen de las propias estrategias de los jugadores y el agregado . Como ejemplo, considere el modelo de Cournot donde la empresa i tiene una función de pago / beneficio (aquí y son, respectivamente, la función de demanda inversa y la función de costo de la empresa i ). Este es un juego de agregación ya que dónde .
Generalizaciones
En la bibliografía han aparecido varias generalizaciones de la definición estándar de un juego agregativo. Un juego es agregativo generalizado [1] si existe una función separable aditivamente (es decir, si existen funciones crecientes tal que ) tal que para cada jugador i existe una función tal que para todos . Obviamente, cualquier juego agregativo es agregado generalizado como se ve al tomar. Una definición aún más general es la de juegos cuasiagregantes en los que se permite que las funciones de pago de los agentes dependan de diferentes funciones de las estrategias de los oponentes. [2] Los juegos agregados también se pueden generalizar para permitir una cantidad infinita de jugadores, en cuyo caso el agregador será típicamente una suma integral en lugar de lineal. [3] Los juegos agregados con un continuo de jugadores se estudian con frecuencia en la teoría de juegos de campo medio .
Propiedades
- Los juegos de agregación generalizados (de ahí los juegos de agregación) admiten correspondencias de respuesta hacia atrás y, de hecho, es la clase más general para hacerlo. [1] Las correspondencias de respuesta hacia atrás, así como las correspondencias de acciones estrechamente relacionadas , son herramientas analíticas poderosas en la teoría de juegos. Por ejemplo, se utilizaron correspondencias de respuesta hacia atrás para dar la primera prueba general de la existencia de un equilibrio de Nash en el modelo de Cournot sin asumir la cuasiconcavidad de las funciones de beneficio de las empresas. [4] Las correspondencias de respuesta hacia atrás también juegan un papel crucial para el análisis de estática comparativa (ver más abajo).
- Los juegos cuasiagregantes (de ahí los juegos agregados generalizados, por lo tanto los juegos agregantes) son juegos potenciales de mejor respuesta si las correspondencias de mejor respuesta aumentan o disminuyen. [5] [2] Precisamente como juegos con complementariedades estratégicas , tales juegos tienen por lo tanto un equilibrio de Nash de estrategia pura independientemente de si las funciones de pago son cuasicóncavas y / o los conjuntos de estrategias son convexos . La prueba de existencia en [4] es un caso especial de tales resultados de existencia más generales.
- Los juegos agregados tienen fuertes propiedades de estática comparativa . En condiciones muy generales, se puede predecir cómo afectará un cambio en los parámetros exógenos a los equilibrios de Nash . [6] [7]
Ver también
Notas
- ↑ a b Cornes, R .; Harley, R. (2012). "Juegos totalmente agregados". Cartas económicas . 116 . págs. 631–633.
- ^ a b Jensen, MK (2010). "Juegos agregados y potenciales de mejor respuesta". Teoría económica . 43 . págs. 45–66.
- ^ Acemoglu, D .; Jensen, MK (2010). "Estática comparativa robusta en grandes juegos estáticos". Procedimientos de IEEE sobre decisión y control . 49 . págs. 3133–3139.
- ^ a b Novshek, W. (1985). "Sobre la existencia del equilibrio de Cournot". Revisión de estudios económicos . 52 . págs. 86–98.
- ^ Dubey, P .; Haimanko, O .; Zapechelnyuk, A. (2006). "Complementos y sustitutos estratégicos y juegos potenciales". Juegos y comportamiento económico . 54 . págs. 77–94.
- ^ Corchon, L. (1994). "Estática comparativa para juegos agregados. El caso de concavidad fuerte". Ciencias Sociales Matemáticas . 28 . págs. 151-165.
- ^ Acemoglu, D .; Jensen, MK (2013). "Estática comparativa agregada". Juegos y comportamiento económico . 81 . págs. 27–49.
Referencias
- Selten, R. (1970). Preispolitik der Mehrproduktenunternehmung in der Statischen Theorie (Primera ed.). Springer Verlag, Berlín.