En matemáticas , una función quasiconvex es un verdadero -valued función definida en un intervalo o en un convexa subconjunto de un verdadero espacio vectorial de tal manera que la imagen inversa de cualquier conjunto de la formaes un conjunto convexo . Para una función de una sola variable, a lo largo de cualquier tramo de la curva, el punto más alto es uno de los puntos finales. Se dice que el negativo de una función cuasiconvexa es cuasicóncava .
Todas las funciones convexas también son cuasiconvexas, pero no todas las funciones cuasiconvexas son convexas, por lo que la cuasiconvexidad es una generalización de la convexidad. La cuasiconvexidad y la cuasiconcavidad extienden a las funciones con múltiples argumentos la noción de unimodalidad de funciones con un solo argumento real.
Definición y propiedades
Una función definido en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es cuasiconvexo si para todos y tenemos
En palabras, si es tal que siempre es cierto que un punto directamente entre otros dos puntos no da un valor más alto de la función que los otros dos puntos, entonces es cuasiconvexo. Tenga en cuenta que los puntos y , y el punto directamente entre ellos, pueden ser puntos en una línea o más generalmente puntos en un espacio n -dimensional.
Una forma alternativa (ver introducción) de definir una función cuasi-convexa es requerir que cada subnivel establecido es un conjunto convexo.
Si ademas
para todos y , luego es estrictamente cuasiconvexo . Es decir, la cuasiconvexidad estricta requiere que un punto directamente entre otros dos puntos debe dar un valor más bajo de la función que uno de los otros puntos.
Una función cuasicóncava es una función cuyo negativo es cuasiconvexo, y una función estrictamente cuasicóncava es una función cuyo negativo es estrictamente cuasiconvexo. Equivalentemente una función es cuasicóncavo si
y estrictamente cuasicóncavo si
Una función (estrictamente) cuasiconvexa tiene conjuntos de contornos inferiores (estrictamente) convexos , mientras que una función cuasicóncava (estrictamente) tiene conjuntos de contornos superiores (estrictamente) convexos .
Una función que es tanto cuasiconvexa como cuasicóncava es cuasilineal .
Un caso particular de cuasi-concavidad, si , es la unimodalidad , en la que hay un valor máximo local.
Aplicaciones
Funciones Quasiconvex tienen aplicaciones en el análisis matemático , en la optimización matemática , y en la teoría de juegos y la economía .
Optimización matemática
En la optimización no lineal , la programación cuasiconvexa estudia métodos iterativos que convergen al mínimo (si existe) para funciones cuasiconvexas. La programación cuasiconvexa es una generalización de la programación convexa . [1] La programación cuasiconvexa se utiliza en la solución de problemas duales "sustitutos" , cuyos biduales proporcionan cierres cuasiconvexos del problema primario, que por lo tanto proporcionan límites más estrechos que los cierres convexos proporcionados por problemas duales lagrangianos . [2] En teoría , los problemas de programación cuasiconvexa y programación convexa pueden resolverse en un tiempo razonable, donde el número de iteraciones crece como un polinomio en la dimensión del problema (y en el recíproco del error de aproximación tolerado); [3] sin embargo, estos métodos teóricamente "eficientes" utilizan reglas de tamaño de paso de "series divergentes" , que se desarrollaron por primera vez para los métodos clásicos de subgrado . Los métodos clásicos de subgradiente que utilizan reglas de series divergentes son mucho más lentos que los métodos modernos de minimización convexa, como los métodos de proyección de subgradiente, los métodos de agrupación de descenso y los métodos de filtro no suave .
Economía y ecuaciones diferenciales parciales: teoremas de Minimax
En microeconomía , las funciones de utilidad cuasicóncavas implican que los consumidores tienen preferencias convexas . Las funciones cuasiconvexas también son importantes en la teoría de juegos , la organización industrial y la teoría del equilibrio general , en particular para las aplicaciones del teorema minimax de Sion . Generalizando un teorema minimax de John von Neumann , el teorema de Sion también se usa en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales .
Preservación de la cuasiconvexidad.
Operaciones que preservan la cuasiconvexidad
- máximo de funciones cuasiconvexas (es decir ) es cuasiconvexo. De manera similar, el máximo de funciones cuasiconvexas estrictas es cuasiconvexo estricto. [4] De manera similar, el mínimo de funciones cuasicóncavas es cuasicóncava, y el mínimo de funciones estrictamente cuasicóncavas es estrictamente cuasicóncava.
- composición con una función no decreciente (es decir cuasiconvexo, no decreciente, entonces es cuasiconvexo)
- minimización (es decir cuasiconvexo, conjunto convexo, entonces es cuasiconvexo)
Operaciones que no preservan la cuasiconvexidad
- La suma de funciones cuasiconvexas definidas en el mismo dominio no necesita ser cuasiconvexa: en otras palabras, si son cuasiconvexos, entonces no necesita ser cuasiconvexo.
- La suma de funciones cuasiconvexas definidas en diferentes dominios (es decir, si son cuasiconvexos, ) no es necesario que sea cuasiconvexo. Estas funciones se denominan "aditivamente descompuestas" en economía y "separables" en optimización matemática .
Ejemplos de
- Cada función convexa es cuasiconvexa.
- Una función cóncava puede ser cuasiconvexa. Por ejemplo, es cóncava y cuasiconvexa.
- Cualquier función monótona es cuasiconvexa y cuasicóncava. De manera más general, una función que disminuye hasta un punto y aumenta a partir de ese punto es cuasiconvexa (compare la unimodalidad ).
- La función de suelo es un ejemplo de una función cuasiconvexa que no es convexa ni continua.
Ver también
- Función convexa
- Función cóncava
- Función logarítmicamente cóncava
- Pseudoconvexidad en el sentido de varias variables complejas (no convexidad generalizada)
- Función pseudoconvexa
- Función Invex
- Concavificación
Referencias
- ^ Di Guglielmo (1977 , págs. 287-288): Di Guglielmo, F. (1977). "Dualidad no convexa en optimización multiobjetivo". Matemáticas de la investigación operativa . 2 (3): 285-291. doi : 10.1287 / moor.2.3.285 . JSTOR 3689518 . Señor 0484418 .
- ^ Di Guglielmo, F. (1981). "Estimaciones de la brecha de dualidad para problemas de optimización discretos y cuasiconvexos". En Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (eds.). Concavidad generalizada en optimización y economía: Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN celebradas en la Universidad de Columbia Británica, Vancouver, BC, del 4 al 15 de agosto de 1980 . Nueva York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Editores]. págs. 281-298. ISBN 0-12-621120-5. Señor 0652702 .
- ^ Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergencia y eficiencia de los métodos de subgradiente para la minimización cuasiconvexa". Programación Matemática, serie A . 90 (1). Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 1–25. doi : 10.1007 / PL00011414 . ISSN 0025-5610 . Señor 1819784 .Kiwiel reconoce que Yuri Nesterov estableció por primera vez que los problemas de minimización cuasiconvexos se pueden resolver de manera eficiente.
- ^ Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). "Optimización de parámetros para soluciones de equilibrio de sistemas de acción de masas" : 13-14 . Consultado el 26 de octubre de 2016 . Cite journal requiere
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( ayuda )
- Avriel, M., Diewert, WE, Schaible, S. y Zang, I., Concavidad generalizada , Plenum Press, 1988.
- Crouzeix, J.-P. (2008). "Cuasi-concavidad". En Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 815–816. doi : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5.
- Cantante, Ivan Análisis abstracto convexo . Serie de monografías y textos avanzados de la Canadian Mathematical Society. Una publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1997. xxii + 491 págs. ISBN 0-471-16015-6
enlaces externos
- SION, M., "Sobre teoremas generales de minimax", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
- Glosario de programación matemática
- Funciones cóncavas y cuasi cóncavas - por Charles Wilson, Departamento de Economía de la NYU
- Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad - por Martin J. Osborne, Departamento de Economía de la Universidad de Toronto