número aleph

En matemáticas , particularmente en la teoría de conjuntos , los números aleph son una secuencia de números utilizados para representar la cardinalidad (o tamaño) de conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados . Fueron introducidos por el matemático Georg Cantor ^[1] y llevan el nombre del símbolo que utilizó para denotarlos, la letra hebrea aleph ( ). ^[2]^[un] ${\ estilo de visualización \, \ aleph \,}$

La cardinalidad de los números naturales es (léase aleph -cero o aleph-cero ; el término aleph-null también se usa a veces), la siguiente cardinalidad más grande de un conjunto bien ordenado es aleph-uno y así sucesivamente. Continuando de esta manera, es posible definir un número cardinal para cada número ordinal como se describe a continuación. ${\ estilo de visualización \, \ aleph _ {0} \,}$ ${\ estilo de visualización \, \ aleph _ {1} \;,}$ ${\ estilo de visualización \, \ aleph _ {2} \,}$ ${\ estilo de visualización \, \ aleph _ {\ alfa} \,}$ ${\ estilo de visualización \, \ alfa \;,}$

El concepto y la notación se deben a Georg Cantor , ^[5] quien definió la noción de cardinalidad y se dio cuenta de que conjuntos infinitos pueden tener distintas cardinalidades .

Los números alef difieren del infinito ( ) que se encuentra comúnmente en álgebra y cálculo, en que los alefs miden los tamaños de los conjuntos, mientras que el infinito se define comúnmente como un límite extremo de la recta numérica real (aplicado a una función o secuencia que " diverge hasta el infinito" o "aumenta sin límite"), o como un punto extremo de la recta numérica real extendida . ${\displaystyle\,\infty\,}$

${\ estilo de visualización \, \ aleph _ {0} \,}$ (aleph-nought, también aleph-zero o aleph-null) es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales, y es un cardinal infinito . El conjunto de todos los ordinales finitos , llamado o (donde es la letra minúscula griega omega ), tiene cardinalidad Un conjunto tiene cardinalidad si y solo si es numerable infinito , es decir, hay una biyección (correspondencia uno a uno) entre él y los números naturales. Ejemplos de tales conjuntos son ${\ estilo de visualización \, \ omega \,}$ ${\ estilo de visualización \, \ omega _ {0} \,}$ ${\ estilo de visualización \, \ omega \,}$ ${\ estilo de visualización \, \ aleph _ {0} \;.}$ ${\ estilo de visualización \, \ aleph _ {0} \,}$

Alef-cero, alef-cero o alef-nulo, el número cardinal infinito más pequeño