El álgebra de variables aleatorias proporciona reglas para la manipulación simbólica de variables aleatorias , al tiempo que evita profundizar demasiado en las ideas matemáticamente sofisticadas de la teoría de la probabilidad . Su simbolismo permite el tratamiento de sumas, productos, ratios y funciones generales de variables aleatorias, así como tratar operaciones como encontrar las distribuciones de probabilidad y las expectativas (o valores esperados), varianzas y covarianzas de dichas combinaciones. En principio, el álgebra elementalde variables aleatorias es equivalente al de las variables convencionales no aleatorias (o deterministas). Sin embargo, los cambios que ocurren en la distribución de probabilidad de una variable aleatoria obtenida después de realizar operaciones algebraicas no son directos. Por lo tanto, el comportamiento de los diferentes operadores de la distribución de probabilidad, como valores esperados, varianzas, covarianzas y momentos , puede ser diferente al observado para la variable aleatoria usando álgebra simbólica. Es posible identificar algunas reglas clave para cada uno de esos operadores, resultando en diferentes tipos de álgebra para variables aleatorias, además del álgebra simbólica elemental: álgebra de expectativas, álgebra de varianza, álgebra de covarianza, álgebra de momento, etc.
Álgebra simbólica elemental de variables aleatorias
Considerando dos variables aleatorias y , son posibles las siguientes operaciones algebraicas:
En todos los casos, la variable resultante de cada operación es también una variable aleatoria. Todas las propiedades conmutativas y asociativas de las operaciones algebraicas convencionales también son válidas para variables aleatorias. Si alguna de las variables aleatorias se reemplaza por una variable determinista o por un valor constante, todas las propiedades anteriores siguen siendo válidas.
Álgebra de expectativas para variables aleatorias
El valor esperado de la variable aleatoria resultante de una operación algebraica entre dos variables aleatorias se puede calcular utilizando el siguiente conjunto de reglas:
- Adición :
- Resta :
- Multiplicación :. Particularmente, siy son independientes entre sí, entonces:.
- División :. Particularmente, siy son independientes entre sí, entonces: .
- Exponenciación :
Si alguna de las variables aleatorias es reemplazada por una variable determinista o por un valor constante (), las propiedades anteriores siguen siendo válidas considerando que y por lo tanto, .
Si se define como una función algebraica no lineal general de una variable aleatoria , luego:
Algunos ejemplos de esta propiedad incluyen:
El valor exacto de la expectativa de la función no lineal dependerá de la distribución de probabilidad particular de la variable aleatoria .
Álgebra de varianza para variables aleatorias
La varianza de la variable aleatoria resultante de una operación algebraica entre variables aleatorias se puede calcular utilizando el siguiente conjunto de reglas:
- Adición :. Particularmente, siy son independientes entre sí, entonces:.
- Resta :. Particularmente, siy son independientes entre sí, entonces: . Es decir, para variables aleatorias independientes, la varianza es la misma para sumas y restas:
- Multiplicación :. Particularmente, siy son independientes entre sí, entonces: .
- División :. Particularmente, siy son independientes entre sí, entonces: .
- Exponenciación :
dónde representa el operador de covarianza entre variables aleatorias y .
La varianza de una variable aleatoria también se puede expresar directamente en términos de covarianza o en términos del valor esperado:
Si alguna de las variables aleatorias es reemplazada por una variable determinista o por un valor constante (), las propiedades anteriores siguen siendo válidas considerando que y , y . Los casos especiales son la suma y multiplicación de una variable aleatoria con una variable determinista o una constante, donde:
Si se define como una función algebraica no lineal general de una variable aleatoria , luego:
El valor exacto de la varianza de la función no lineal dependerá de la distribución de probabilidad particular de la variable aleatoria .
Álgebra de covarianza para variables aleatorias
La covarianza () entre la variable aleatoria resultante de una operación algebraica y la variable aleatoria se puede calcular utilizando el siguiente conjunto de reglas:
- Adición :. Si y son independientes entre sí, entonces:.
- Resta :. Si y son independientes entre sí, entonces: .
- Multiplicación :. Si y son independientes entre sí, entonces: .
- División (covarianza con respecto al numerador):. Si y son independientes entre sí, entonces: .
- División (covarianza con respecto al denominador):. Si y son independientes entre sí, entonces: .
- Exponenciación (covarianza con respecto a la base):.
- Exponenciación (covarianza con respecto a la potencia):.
La covarianza de una variable aleatoria también se puede expresar directamente en términos del valor esperado:
Si alguna de las variables aleatorias es reemplazada por una variable determinista o por un valor constante ( ), las propiedades anteriores siguen siendo válidas considerando que , y .
Si se define como una función algebraica no lineal general de una variable aleatoria , luego:
El valor exacto de la varianza de la función no lineal dependerá de la distribución de probabilidad particular de la variable aleatoria .
Aproximaciones por expansión de momentos de la serie de Taylor
Si los momentos de una determinada variable aleatoriason conocidas (o pueden determinarse por integración si se conoce la función de densidad de probabilidad ), entonces es posible aproximar el valor esperado de cualquier función no lineal generalcomo una expansión de la serie de Taylor de los momentos , como sigue:
, dónde es el valor medio de .
, dónde es el n -ésimo momento desobre su media. Tenga en cuenta que por su definición, y . El término de primer orden siempre desaparece, pero se mantuvo para obtener una expresión de forma cerrada.
Luego,
, donde la expansión de Taylor se trunca después de la -ésimo momento.
Particularmente para funciones de variables aleatorias normales , es posible obtener una expansión de Taylor en términos de la distribución normal estándar : [1]
, dónde es una variable aleatoria normal, y es la distribución normal estándar. Por lo tanto,
, donde los momentos de la distribución normal estándar están dados por:
De manera similar, para las variables aleatorias normales, también es posible aproximar la varianza de la función no lineal como una expansión de la serie de Taylor como:
, dónde
, y
Álgebra de variables aleatorias complejas
En la axiomatización algebraica de la teoría de la probabilidad , el concepto principal no es el de probabilidad de un evento, sino el de una variable aleatoria . Las distribuciones de probabilidad se determinan asignando una expectativa a cada variable aleatoria. El espacio medible y la medida de probabilidad surgen de las variables aleatorias y las expectativas mediante conocidos teoremas de análisis de representación . Una de las características importantes del enfoque algebraico es que las distribuciones de probabilidad aparentemente de dimensión infinita no son más difíciles de formalizar que las de dimensión finita.
Se supone que las variables aleatorias tienen las siguientes propiedades:
- las constantes complejas son posibles realizaciones de una variable aleatoria;
- la suma de dos variables aleatorias es una variable aleatoria;
- el producto de dos variables aleatorias es una variable aleatoria;
- la suma y la multiplicación de variables aleatorias son conmutativas ; y
- existe una noción de conjugación de variables aleatorias, satisfaciendo ( XY ) * = Y * X * y X ** = X para todas las variables aleatorias X , Y y coincidiendo con la conjugación compleja si X es una constante.
Esto significa que las variables aleatorias forman álgebras * conmutativas complejas . Si X = X * entonces la variable aleatoria X se llama "real".
Una expectativa E en un álgebra A de variables aleatorias es un funcional lineal positivo normalizado . Lo que esto significa es que
- E [ k ] = k donde k es una constante;
- E [ X * X ] ≥ 0 para todas las variables aleatorias X ;
- E [ X + Y ] = E [ X ] + E [ Y ] para todas las variables aleatorias X e Y ; y
- E [ kX ] = kE [ X ] si k es una constante.
Se puede generalizar esta configuración, permitiendo que el álgebra sea no conmutativa. Esto conduce a otras áreas de probabilidad no conmutativa, como la probabilidad cuántica , la teoría de matrices aleatorias y la probabilidad libre .
Ver también
- Relaciones entre distribuciones de probabilidad
- Distribución de razón
- Distribución de Cauchy
- Distribución de barra
- Distribución inversa
- La distribución del producto
- Transformada de Mellin
- Suma de variables aleatorias distribuidas normalmente
- Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad : la medida de probabilidad de la suma de variables aleatorias independientes es la convolución de sus medidas de probabilidad.
- Ley de la expectativa total
- Ley de varianza total
- Ley de la covarianza total
- Ley de la acumulación total
- Expansiones de Taylor para los momentos de funciones de variables aleatorias
Referencias
- ^ Hernández, Hugo (2016). "Modelado del efecto de fluctuación en sistemas no lineales utilizando álgebra de varianza - Aplicación a la dispersión de luz de gases ideales". Informes de investigación de ForsChem . 2016–1. doi : 10.13140 / rg.2.2.36501.52969 .
Otras lecturas
- Whittle, Peter (2000). Probabilidad a través de la expectativa (4ª ed.). Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-98955-6. Consultado el 24 de septiembre de 2012 .
- Springer, Melvin Dale (1979). El álgebra de variables aleatorias . Wiley . ISBN 0-471-01406-0. Consultado el 24 de septiembre de 2012 .
- "Medir álgebra" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]