En álgebra abstracta , un campo de división de un polinomio con coeficientes en un campo es la extensión de campo más pequeña de ese campo sobre el cual el polinomio se divide o se descompone en factores lineales .
Definición
Un campo de división de un polinomio p ( X ) sobre un campo K es una extensión de campo L de K sobre la cual p se factoriza en factores lineales
dónde y para cada tenemos con una i no necesariamente distintos y de manera que las raíces de una i generan L sobre K . La extensión L es entonces una extensión de grado mínimo sobre K en la que p se divide. Se puede demostrar que tales campos de división existen y son únicos hasta el isomorfismo. La cantidad de libertad en ese isomorfismo se conoce como el grupo de Galois de p (si asumimos que es separable ).
Propiedades
Una extensión L que es un cuerpo de descomposición para un conjunto de polinomios p ( X ) sobre K se llama una extensión normal de K .
Dado un campo A algebraicamente cerrado que contiene K , hay un campo de división único L de p entre K y A , generado por las raíces de p . Si K es un subcampo de los números complejos , la existencia es inmediata. Por otro lado, la existencia de cierres algebraicos en general a menudo se prueba "pasando al límite" del resultado del campo de división, que por lo tanto requiere una prueba independiente para evitar el razonamiento circular .
Dada una extensión separable K ′ de K , un cierre de Galois L de K ′ es un tipo de campo de división, y también una extensión de Galois de K que contiene K ′ que es mínima, en un sentido obvio. Tal cierre de Galois debe contener un campo de división para todos los polinomios p sobre K que son polinomios mínimos sobre K de elementos a de K ′.
Construyendo campos de división
Motivación
Encontrar raíces de polinomios ha sido un problema importante desde la época de los antiguos griegos. Sin embargo, algunos polinomios, como x 2 + 1 sobre R , los números reales, no tienen raíces. Al construir el campo de división para tal polinomio, se pueden encontrar las raíces del polinomio en el nuevo campo.
La construcción
Sea F un campo yp ( X ) un polinomio en el anillo polinomial F [ X ] de grado n . El proceso general para construir K , el campo de división de p ( X ) sobre F , es construir una cadena de campos.tal que K i es una extensión de K i -1 que contiene una nueva raíz de p ( X ). Dado que p ( X ) tiene como máximo n raíces, la construcción requerirá como máximo n extensiones. Las etapas para la construcción K i se dan como sigue:
- Factorize p ( X ) sobre K i en irreducibles factores.
- Elija cualquier factor irreducible no lineal f ( X ) = f i ( X ).
- Construya la extensión de campo K i +1 de K i como el anillo del cociente K i +1 = K i [ X ] / ( f ( X )) donde ( f ( X )) denota el ideal en K i [ X ] generado por f ( X ).
- Repita el proceso para K i +1 hasta que p ( X ) factorice completamente.
El factor irreducible f i ( X ) usado en la construcción del cociente puede elegirse arbitrariamente. Aunque diferentes elecciones de factores pueden conducir a diferentes secuencias de subcampos, los campos de división resultantes serán isomórficos.
Dado que f ( X ) es irreducible, ( f ( X )) es un ideal máximo de K i [ X ] y K i [ X ] / ( f ( X )) es, de hecho, un campo. Además, si dejamos ser la proyección natural del anillo en su cociente entonces
entonces π ( X ) es una raíz de f ( X ) y de p ( X ).
El grado de una sola extensión es igual al grado del factor irreducible f ( X ). El grado de extensión [ K : F ] viene dado pory es como mucho n !.
El campo K i [ X ] / ( f ( X ))
Como se mencionó anteriormente, el anillo del cociente K i +1 = K i [ X ] / ( f ( X )) es un campo cuando f ( X ) es irreducible. Sus elementos son de la forma
donde los c j están en K i y α = π ( X ). (Si se considera K i 1 como un espacio vectorial sobre K i entonces las potencias alpha j para 0 ≤ j ≤ n -1 forman una base).
Los elementos de K i 1 pueden ser considerados como polinomios en α de grado menor que n . La adición en K i 1 está dado por las normas para la adición y multiplicación polinómica está dada por polinomio multiplicación modulo f ( X ). Es decir, para g (α) y h (α) en K i +1 el producto g (α) h (α) = r (α) donde r ( X ) es el resto de g ( X ) h ( X ) dividido por f ( X ) en K i [ X ].
El resto r ( X ) se puede calcular mediante la división larga de polinomios, sin embargo, también existe una regla de reducción sencilla que se puede utilizar para calcular r (α) = g (α) h (α) directamente. Primero deja
El polinomio está sobre un campo, por lo que se puede considerar que f ( X ) es mónica sin pérdida de generalidad. Ahora α es una raíz de f ( X ), entonces
Si el producto g (α) h (α) tiene un término α m con m ≥ n, se puede reducir de la siguiente manera:
- .
Como ejemplo de la regla de reducción, tome K i = Q [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes racionales, y tome f ( X ) = X 7 - 2. Seay h (α) = α 3 +1 ser dos elementos de Q [ X ] / ( X 7 - 2). La regla de reducción dada por f ( X ) es α 7 = 2 entonces
Ejemplos de
Los números complejos
Considere el anillo polinomial R [ x ] y el polinomio irreducible x 2 + 1. El anillo del cociente R [ x ] / ( x 2 + 1) está dado por la congruencia x 2 ≡ −1. Como resultado, los elementos (o clases de equivalencia ) de R [ x ] / ( x 2 + 1) son de la forma de un + bx donde un y b pertenecen a R . Para ver esto, observe que dado que x 2 ≡ −1 se sigue que x 3 ≡ - x , x 4 ≡ 1 , x 5 ≡ x , etc .; y así, por ejemplo, p + qx + rx 2 + sx 3 ≡ p + qx + r ⋅ (−1) + s ⋅ (- x ) = ( p - r ) + ( q - s ) ⋅ x .
Las operaciones de suma y multiplicación se dan primero usando la suma y multiplicación de polinomios ordinarios, pero luego reduciendo módulo x 2 + 1 , es decir, usando el hecho de que x 2 ≡ −1 , x 3 ≡ - x , x 4 ≡ 1 , x 5 ≡ x , etc. Así:
Si identificamos a + bx con ( a , b ), entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por
Reivindicamos que, como un campo, el cociente R [ x ] / ( x 2 + 1) es isomorfo a los números complejos , C . Un número complejo general tiene la forma a + bi , donde a y b son números reales e i 2 = −1. La suma y la multiplicación están dadas por
Si identificamos a + bi con ( a , b ), entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por
Los cálculos anteriores muestran que la adición y multiplicación se comportan de la misma manera en R [ x ] / ( x 2 + 1) y C . De hecho, vemos que el mapa entre R [ x ] / ( x 2 + 1) y C dado por a + bx → a + bi es un homomorfismo con respecto a la suma y la multiplicación. También es obvio que el mapa a + bx → a + bi es tanto inyectivo como sobreyectivo ; lo que significa que a + bx → a + bi es un homomorfismo biyectivo , es decir, un isomorfismo. De ello se desprende que, según: R [ x ] / ( x 2 + 1) ≅ C .
En 1847, Cauchy utilizó este enfoque para definir los números complejos. [1]
Ejemplo cúbico
Sea K el campo numérico racional Q y p ( x ) = x 3 - 2 . Cada raíz de p es igual a 3 √ 2 veces la raíz cúbica de la unidad . Por lo tanto, si denotamos las raíces cúbicas de la unidad por
cualquier campo que contenga dos raíces distintas de p contendrá el cociente entre dos raíces cúbicas distintas de la unidad. Dicho cociente es una raíz cúbica primitiva de la unidad, ya sea ω 2 o. De ello se deduce que un campo de división L de p contendrá ω 2 , así como la raíz cúbica real de 2; a la inversa, cualquier extensión de Q que contenga estos elementos contiene todas las raíces de p . Por lo tanto
Tenga en cuenta que al aplicar el proceso de construcción descrito en la sección anterior a este ejemplo, se comienza con y construye el campo . Este campo no es el campo de división, pero contiene una (cualquiera) raíz. Sin embargo, el polinomio no es irreductible sobre y de hecho:
Tenga en cuenta que no es un indeterminado, y de hecho es un elemento de . Ahora, continuando el proceso, obtenemos que es de hecho el campo de división y está atravesado por el -base . Tenga en cuenta que si comparamos esto con desde arriba podemos identificar y .
Otros ejemplos
- El campo de división de x q - x sobre F p es el único campo finito F q para q = p n . [2] A veces, este campo se denota con GF ( q ).
- El campo de división de x 2 + 1 sobre F 7 es F 49 ; el polinomio no tiene raíces en F 7 , es decir, −1 no es un cuadrado allí, porque 7 no es equivalente a 1 (mod 4). [3]
- El campo de división de x 2 - 1 sobre F 7 es F 7 ya que x 2 - 1 = ( x + 1) ( x - 1) ya factoriza en factores lineales.
- Calculamos el campo de división de f ( x ) = x 3 + x + 1 sobre F 2 . Es fácil verificar que f ( x ) no tiene raíces en F 2 , por lo que f ( x ) es irreducible en F 2 [ x ]. Ponga r = x + ( f ( x )) en F 2 [ x ] / ( f ( x )) para que F 2 ( r ) sea un campo y x 3 + x + 1 = ( x + r ) ( x 2 + ax + b ) en F 2 ( r ) [ x ]. Tenga en cuenta que podemos escribir + para - ya que la característica es dos. La comparación de coeficientes muestra que a = r y b = 1 + r 2 . Los elementos de F 2 ( r ) se pueden enumerar como c + dr + er 2 , donde c , d , e están en F 2 . Hay ocho elementos: 0, 1, r , 1 + r , r 2 , 1 + r 2 , r + r 2 y 1 + r + r 2 . Sustituyendo estos en x 2 + rx + 1 + r 2 llegamos a ( r 2 ) 2 + r ( r 2 ) + 1 + r 2 = r 4 + r 3 + 1 + r 2 = 0, por lo tanto x 3 + x + 1 = ( x + r) ( x + r 2 ) ( x + ( r + r 2 )) para r en F 2 [ x ] / ( f ( x )); E = F 2 ( r ) es un campo de división de x 3 + x + 1 sobre F 2 .
Notas
- ^ Cauchy, Augustin-Louis (1847), "Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires", Comptes Rendus Hebdomada des Séances de l'Académie des Sciences (en francés), 24 : 1120-1130
- ^ Serre. Un curso de aritmética .
- ^ En lugar de aplicar esta caracterización de módulos primos impares para los que −1 es un cuadrado, se podría simplemente comprobar que el conjunto de cuadrados en F 7 es el conjunto de clases de 0, 1, 4 y 2, que no incluye el clase de −1≡6.
Referencias
- Dummit, David S. y Foote, Richard M. (1999). Álgebra abstracta (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1 .
- "División de campo de un polinomio" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "División de campo" . MathWorld .